一课研究之“三角形内角和”访谈

本次访谈包含三方面的目的：

1.了解不同层次学生在解决“求三角形内角和”这一问题时的素材选择，即不同水平层次的学生在研究素材的选择时会呈现怎样的特点。

2.了解学生在解决“求三角形内角和”这一问题时的思维过程，即不同水平的学生在解决问题的过程中，思考的过程是否连贯、灵活、开放。

3.了解学生是否能在不同的探究方法之间建立联系，即学生能否将某一类型的素材中得到的探究方法迁移到其它有关联的素材中。

二、访谈对象

本次访谈对象为笔者所任教的本校四年级一班部分学生。根据日常学习表现，按照优秀生、中等生、学困生三个水平层次，各选择3名学生，共计9人，下文分别记为A1、A2、A3，B1、B2、B3，C1、C2、C3。

三、访谈内容

访谈中为学生提供如下五组材料：1号材料是一个三角形和一把量角器，指向测量求和；2号材料是一个剪下来的三角形，指向撕拼、折拼、剪拼；3号材料是将一个三角形沿一个顶点拉伸的图示，指向想象；4号材料是剪下来的一组全等的三角形，指向拼组；5号材料是长方形与直角三角形的内角关系图以及一个锐角三角形，指向推理。

四、访谈过程与结果

（一）整体呈现，了解材料用途

访谈伊始，请学生说说自己对三角形内角和的猜想。随后，教师整体呈现五组材料，请学生观察材料，并对材料的用途提问，访谈者适当解释。如：

材料1：这是一个画在纸上的三角形，还有一把量角器。

材料2：这是一个从纸上剪下来的三角形，你想怎样处理都可以。

材料3：想象一下这是一根皮筋扎在钉子板上，三角形的一条边不动，一个顶点可以往上或往下移动。

材料4：这是一组完全相同的三角形。

材料5：这里有一个长方形，你可以根据长方形的变化，猜想三角形的内角和。

（二）操作材料，展示思维过程

为了全面了解学生对三角形内角和的认知，并考查学生是否能发现不同材料之间的关联，访谈者要求他们根据自己的意愿，先后选择五组材料进行探究。各组材料探究的过程记录如下。

1号材料（测算）：这对于三名优等生来说毫无挑战。三名中等生，除了一开始就选择1号材料的B1以外，其余两名在稍加犹豫之后，也得出了测量求和的方法。对于学困生而言，他们的表达略显琐碎，把具体的测量过程和结果都进行了描述。

2号材料（撕拼）：在2号材料面前三位优等生也都略显犹豫，但在访谈者的提示下，A1、A2通过撕拼，组成了平角，A3则通过折拼，拼成了平角，他们能在平角与180°之间快速转换。

三位中等生虽然经过访谈者的鼓励，知道可以将三角形纸片进行折、剪、撕等各种操作，但是具体操作时却找不到方向。B1先将三角形剪成一个梯形和一个三角形，又把梯形剪成两个三角形，尝试拼组，未果；B2试图通过折叠找出这几个角的倍数关系，随后又将∠1、∠2拼在一起，却无法把∠3也拼在一起；B3也试图通过折，将三个角拼在一起，却发现边对不齐，不知所措。最终，三名学生在多次提示下，采用了撕拼、折拼或剪拼的方法拼出了平角。

学困生在处理2号材料时，就更加没有目的性了。C2把其中的∠2描在纸上，并把它补成了一个直角，随后思路就中断了。学困生C3在访谈者的多次鼓励与提示下，试图通过折的方式将三角形的三个角拼在一起，但也没有成功。最终只有C1在访谈者的提示下，通过撕拼组成了平角。

3号材料（想象）：三名优等生中的两名能根据图形的变化，想象并描述出当一个顶点往上移动，上面的角会越来越小，无限接近0°，下面两个角会越来越大，无限接近90°；当这个顶点往下移时，上面的角越来越大，无限接近180°（或平角），另两个角越来越小，无限接近0°。三名中等生中的B2能在访谈者的引导下，想象出三个角的变化，另两名直接放弃了探究。三名学困生则都表示不想尝试。

4号材料（拼组）：三名优等生中的两名A1、A3很快联想到了4号和2号的关系，选择了三个三角形，分别用其中的∠1、∠2、∠3拼成了平角，A2试图将两个全等的三角形拼成平行四边形，并利用平行四边形的内角和是360°来证明三角形的内角和是180°，在访谈者说明“平行四边形内角和是360°”还没有得到证明，最好不要采用这一方法之后，他采用了上面两位学生相同的方法。

三名中等生都试图“强行”把各个三角形中的相同的角拼成一个周角，然后用360°除以角的个数，求出这个角的度数。显然，他们并没有意识到这并不能恰好拼成周角。可见，他们非常执着于具体的数量，计算思维起到了极大的阻碍作用。最终，访谈者提示：“刚才2号材料你把三个角撕下来（或者通过折的方式），拼在一起了，因为你只有一个三角形，现在4号材料你有很多个三角形了，需要撕吗？”通过提示，他们用三个不同的角拼出了平角，并且意识了到平角与180°的等价关系。

三位学困生探究过程困难重重。他们的思路往往比较混乱，以学困生C1为例：

C1：我把∠3拼起来，因为4个∠3拼起来是平角，所以180°÷4=45°，180°＋45°×2=270°。

访谈者：问题是三角形中的三个角，比如∠1、∠2和∠3合起来。

C1：把∠1拼起来，再把∠2都拼起来，拼成一个圆（周角），要几个∠1或∠2或∠3，算出一个∠1、∠2或∠3的度数，再加起来。

访谈者：但是拼起来并不刚好是360°啊。

……

学困生C2先是尝试拼组，但没有头绪，随后他把∠1、∠2、∠3拼在一起，马上又否定了自己的想法。不久他再次拼出∠1、∠2、∠3，但还是没有意识到问题已经解决了，还在继续苦思冥想。

C3的情况与他们相似，他们的共同特点是为了操作而操作，没有明确的目的。

5号材料（推理）：三位选择5号材料的优等生的探究过程比较顺利。他们的思路比较一致，首先说明长方形四个角的和是360°，因为90°×4=360°；然后说明直角三角形是180°，因为长方形被分成了两个完全相同三角形，所以360°÷2=180°。在探究锐角三角形的内角和时，其中A2和A3需要访谈者提示：“能不能从锐角三角形中找到直角三角形？”随后，即能通过画锐角三角形的高将其分为两个直角三角形，并说明：“因为锐角三角形被分成两个直角三角形，但是直角三角形拼成大锐角三角形后两个直角不见了，所以180°＋180°-90°×2=180°。”

中等生B1在面对5号材料时，一开始尝试估计三个锐角的度数，然后相加求和。在访谈者的逐一提示下，最终将锐角三角形沿高分成两个直角三角形，并发现两个直角三角形的四个锐角组成了锐角三角形的三个锐角，同时要减去原来的两个直角。B2表示不想尝试利用5号材料进行探究。B3只能得出直角三角形内角和是180°的结论，对后续进一步探究锐角三角形的内角和则失去了动力。

学困生中的C1能根据图示理解图中的直角三角形内角和是180°，但不能举一反三，类推到其它直角三角形，因此也没有进一步研究锐角三角形的内角和。C2、C3则直接放弃了。

四、访谈发现

1.探究结果

访谈者对9名学生利用5种材料进行探究的结果进行了统计，具体情况如下表：

由表2可知，利用1号材料测量求和的方法是三个层次的学生都能比较轻松地理解和操作的。2号剪拼和4号拼组的完成度也相对较高，优等生能主动发现两者之间的联系，而中等生和学困生则把它们当做两种相互独立的对象，但在教师的提示下，也能发现它们之间的联系。3号材料对于中等生和学困生来说比较困难，即使访谈者进行了适当的解释和提示，他们仍然很难想象出三角形三个角的变化过程。5号材料对优等生和部分中等生来说，能根据图示和适当的提示形成比较明确的思路，但对另一部分中等生和学困生来说，要理解（任意）直角三角形的内角和是180°都存在一定的困难，而要进一步通过推理得出任意三角形的内角和是180°，就更有困难了。

2.认知方式

五组材料根据认知方式的不同，可以分为三类。面对这三类材料，学生的认知方式有如下特点：

第一类是合并，即1号、2号、4号，不论是测量计算、剪拼撕拼，还是拼组，都可以通过具体操作，把三角形的三个内角合并在一起。这类路径对于所有访谈者而言是比较容易接受的，也符合他们的认知水平，其中计算对中下学生的影响非常大，他们无法从具体的量中脱离出来，总是拘泥于各个局部，而无法用整体的眼光看待事物。

第二类是推理，即5号材料，由相对简单的直角三角形的内角和通过逻辑运算得出一般三角形的内角和。这一路径对于优等生来说，唯一的难题在于是否能想到将一般三角形转化成直角三角形。一旦意识到可以沿高将一般三角形分成两个直角三角形，那么接下来的逻辑运算都不是问题。对于中等生而言，他们能理解直角三角形内角和与相应的长方形内角和的关系，但是在将一般三角形转化为直角三角形以及进行后续的逻辑运算，都存在一定的困难。而学困生对于这一路径，就举步维艰了。

第三类是想象，如3号材料，通过三角形三个角的运动变化，发现其和的不变。对这一材料的理解需要较强的空间想象力。同样，这方面优等生也占有明显的优势，可以看出，优等生在很多问题上，有自己的想法，即使老师没有教，他们也能自己去观察和发现，中下学生在这方面就明显比较被动了。

3.思维特点

通过对三个层次的学生的访谈可以发现：优等生的思维比较敏捷、连贯、大胆，能有效迁移，空间想象力丰富，解决问题时所选择的信息和素材非常有目的性，在探究的过程中，始终能紧紧围绕目标，即使有时候会出现思维断层，但是只要稍加提示，就能续上。中等学生很容易忘记当前行为的目标，在解决同一问题时，前后步骤不能有效地联系起来，容易凭借观察和直觉做出判断，也容易陷入思维定势，不够放开。学困生往往会陷入这样的困境：不能真正理解当前研究的问题是什么，没有明确思路，并且在研究的过程中非常容易迷失方向，他们的表达也非常孤立、零碎，缺少整体性。

在教学中，我们可以根据访谈结果，将上述三种探究方式（合并、推理、想象）进行有机组合，选择最适合本班学生的学习路径和教学方式，取得最佳的教学效果。

05

学生探究“三角形内角和”时的常见问题

根据多次的测试和访谈，我们发现，不论是直观的操作，还是相对抽象的推理，学生在探究过程中都存在着一些问题，主要包括以下几方面：

常见问题一：习惯于给三个角赋予特定的度数

①用量角器量出具体度数；

②不加测量却强行给三个角指定一个度数。

常见问题二：在剪拼、折拼过程中找不到方向

①不敢大胆进行撕、剪、折等操作；

②在撕、剪、折等过程中，不能将三个角的边依次两两重合组成平角。

常见问题三：不能在平角与180°之间快速转换①对内角和的理解局限于具体的度数，无法从平角的角度思考解决问题的思路；

②采用多个全等三角形拼组时，及时拼出平角也会“擦肩而过”。

常见问题四：推理过程中思路中断

①无法将“直角三角形内角和是180°”这一结论从给定直角三角形推广到任意直角三角形；

②无法由直角三角形过渡到锐角三角形，即无法将锐角三角形转化成直角三角形；

③两个直角三角形与锐角（或钝角）三角形转化的过程中，容易忽视内角的增加变化。

本期审核人：何朝勇 宋煜阳返回搜狐，查看更多