概论

对二维随机变量(X, Y) ,分量X, 或者Y的概率密度称为 (X, Y)的边缘概率密度，简称边缘密度，记为 或者 。

边缘密度 或者 可由 二维随机变量的密度f(x, y)求出：

而是根据实际区域来确定。

1.1 二维正态分布的边缘密度

若二维随机变是(X, Y) 服从二维正态分布N( ), 则随机变量X与Y分别服从正态分布N(), N(). 边缘密度为

,

题1： 设二维连续型随机变量(X, Y)在区域D= {, }上服从均匀分布， 求(X, Y)的边缘密度。

解 先画图

计算积分区域D的面积S = =

所以(X, Y)的密度函数为

关于X的边缘密度， 是对y积分， 先画图，并作箭头线垂直于X轴。

当 时 ,

所以,

关于Y的边缘密度， 是对x积分， 先画图， 并作箭头线垂直于Y轴。

当 时， .

所以

~~~~~~

题2

设二维随机变量(X, Y) 的密度函数为

， 分布函数F(x, y), 则F(3, 2) =____________.

解：

对于此题， 先画图，图中画阴影区域占比即为F(3， 2)的值 ，

所以 F(3, 2) =

题3

设二维连续型随机变量(X, Y)的密度为， 求 P{X>}

解：

先画图，

要求P{X>1/2}, 需要用二重积分解决，虽然求的概率只跟X有关。

积分区域D就是图中的三角形， 所以

P{X>} =

题4

设二维随机变量(X, Y)的概率密度为 ，且X与Y相互独立， 求P{X>Y}.

解： 此题，我们先画图， 此图只是用于辅助理解。

要求解P{X>Y}, 就是求解在积分区域D: X-Y>0下， 对密度函数进行二重积分。

题目4来源于教材P85第五题，原题目分别给出X, Y的概率密度，这是一个根据边缘密度函数的题目， 一定要掌握这类型题的解题方法：

先画图， 接着求出积分积分区域， 再作二重积分， 要特别注意积分上下限是怎么确定， 计算积分最后得出结果。

这种方法也是一种套路， 一种路数，必须掌握。 因为下次我们看到的题可能是P{X