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欧拉复数公式
(也有另外一个关于几何的 "欧拉公式", 本页讲的是复数用的欧拉公式) 首先,你一定见过这个著名的方程: eiπ + 1 = 0 这个方程真的很奇妙,因为它集合了: e (欧拉数) i (单位 虚数) π (大名鼎鼎的 pi,一个在很多不同领域都出现的数) 0 和 1(也是不凡的数!)若你想体验一个美妙的数学之旅,请继续看下去。 欧拉公式这方程其实源自欧拉公式: eix = cos x + i sin x 以 x = π,我们得到: eiπ = cos π + i sin π eiπ = −1 + i × 0 (因为 cos π = −1 和 sin π = 0) eiπ = −1 eiπ + 1 = 0故此,eiπ + 1 = 0 只不过是更有用的欧拉公式的一个特例。 发现在大约公元1740年时,数学家都对 虚数很有兴趣。 虚数的平方是负数 通常这是不可能的(试试去取任何数的平方,记着负负得正),但想象你可以做得到,并叫这个数为 i(英语字“imaginary”(想象)的第一个字母),然后看看会有什么发生: i2 = -1 有一天,欧拉在用虚数玩耍(!),他拿这个泰勒级数 (在当时已经发现了): (你可以用总和计算器来试试。) 他把 i 代进去: 因为 i2 = -1,级数简化成: 把含有 i 和没有 i 的项分开,我们得到: 奇迹出现…… 第一组是 cos 的 泰勒级数 第二组是 sin 的泰勒级数故此: 例子:当 x = 3 eix = cos x + i sin x e3i = cos 3 + i sin 3 e3i = −0.990 + 0.141 i ((保留三位小数)注意:我们是用弧度,不是用度数。 答案是实数与虚数的组合,叫 复数。 我们甚至可以在 复数平面 画出这个数(实数从左到右,虚数从下到上): 在这图我们显示 −0.990 + 0.141 i 这个复数 这数也是 e3i 圆形!把欧拉公式放到图上便会形成一个圆形: eix 形成一个半径是 1 的圆形 我们可以把任何点(例如 3 + 4i)变成 reix 的格式(只需找到 x 的值和圆形的半径,r) 例子:3 + 4i 把这复数转换为 reix的格式,我们要转换笛卡尔坐标为极坐标: r = √(32 + 42) = √(9+16) = √25 = 5 x = tan-1 ( 4 / 3 ) = 0.927 (保留三位小数)
所以 3 + 4i 也可以是 5e0.927 i
在很多情况下,用reix这个格式(例如乘法)比用 a+bi 容易 最后,这个点是 eiπ(刚才在页顶讲的): eiπ = −1 e ( 欧拉数) 代数索引 |
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