多重线性代数

本文是笔者重读卓里奇第十章时的展开学习，仅供参考，如有阙漏，恳请指正。

本文的主要目标是介绍张量积的概念，并证明张量积的存在性和唯一性。

我们从映射的视角将张量积导出，我们希望构造张量积为最一般的双线性映射，即每个双线性映射都可以包含它

因此我们定义：

设  是  上的向量空间，称双线性映射 为 与  的张量积，如果对于任意的双线性映射 ，存在唯一的线性映射 ，使得

亦即下图是交换的：

上述定义也被叫做张量积的泛性质（universal property），该定义其实暗含了的二元对在同构意义下是唯一的

即，若 

都是   的张量积，则  和   是同构的向量空间

证明：

由于  是张量积，则根据定义，存在唯一的线性映射

使得 ，

 也是张量积，同样存在唯一的  ，使得

于是 ，

从而  是一个同构映射，即  和  是同构的

给出这样的定义后，我们还需验证张量积是存在的

假设  和  均为域  上的向量空间，我们需要构造一个双线性映射满足上述的条件

很自然会想到令由的有序对生成向量空间 

从而  中的每个元素都可写成一个如下形式的有限和 

但  却不是我们要找的空间，因为这个和式不是对  分别保持线性

因此，我们需要对其进行一个小小的处理

设  是  中具有如下形式的元素生成的子空间

从而我们定义 

和对应的两空间的商映射

由  的构造方式得，对于任意的  和  以及

我们都有

 和  同属于一个陪集

 和  同理

于是

从而我们知道这是一个双线性映射

但接下来还需说明，对于任意的双线性映射 ，总存在唯一的线性映射 ，使得

这其实在商空间的构造下是显然的，因此我们不妨就一般的商空间证明（商空间的泛性质）

设  为一个域。设  为一个  上的向量空间。设  为一个子空间。设  为一个典范映射。则：

 对于每个 上的向量空间  与每个线性映射  且  都存在一个唯一确定的线性映射  使得  。即下图是交换的：

证明：

假设  存在，则其是唯一的，因为假设有  和  均满足

 与 ，则对于任意 ，

而  是一个满射，从而有  在  的每一处取值相等，从而是相同的

于是只需证明线性映射  存在

我们定义 ，由  可知，该映射不依赖代表元  的选取，从而是良定义的，且显然定义的  是一个线性映射。

根据商空间的泛性质，我们不难带入对应的空间，使得，从而证明上文构造的双线性映射是张量积

参考：

《高等线性代数学》——黎景辉，白正简，周国辉