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本文是笔者重读卓里奇第十章时的展开学习,仅供参考,如有阙漏,恳请指正。 本文的主要目标是介绍张量积的概念,并证明张量积的存在性和唯一性。 双线性映射与张量积我们从映射的视角将张量积导出,我们希望构造张量积为最一般的双线性映射,即每个双线性映射都可以包含它 因此我们定义: 设 亦即下图是交换的: ![]() 上述定义也被叫做张量积的泛性质(universal property),该定义其实暗含了 即,若 都是 证明: 由于 使得
于是 从而 给出这样的定义后,我们还需验证张量积是存在的 假设 很自然会想到令由 从而 但 因此,我们需要对其进行一个小小的处理 设 从而我们定义 和对应的两空间的商映射 由 我们都有
于是 从而我们知道这是一个双线性映射 但接下来还需说明,对于任意的双线性映射 这其实在商空间的构造下是显然的,因此我们不妨就一般的商空间证明(商空间的泛性质) 设 对于每个 ![]() 证明: 假设
而 于是只需证明线性映射 我们定义 根据商空间的泛性质,我们不难带入对应的空间,使得 参考: 《高等线性代数学》——黎景辉,白正简,周国辉 |
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