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大纲中包含两章: ① 导数与微分 ② 一元函数微分学的应用 📚 第一节 导数与微分 📚 🏳️🌈 2.1.1 概念理论导数与微分的概念和理论 (一)导数的概念导数的概念是难点 【定理】 函数 f ( x ) f(x) f(x) 在点 x 0 x_0 x0 处可导的充分必要条件是它在该点处左导数与右导数都存在且相等。 》导数实质上是一个极限,函数量改变量与自变量改变量之比的极限; 这个极限反映了在这一点函数值相对于自变量的变化率; 》极限存在则称可导,极限不存在则称不可导 导数与左右导数之间的关系,实际上就是极限与左右极限之间的关系 【*补】 设函数可导, ① 若函数为奇函数,则导函数为偶函数; ② 若函数为偶函数,则导函数为奇函数; ③ 若函数为周期函数,则导函数为周期函数,且周期相同。 (二)微分的概念》上面说到, 导数是函数改变量的变化率 微分是函数改变量的变化率的近似值
导数的几何意义:函数所对应的曲线在一点处切线的斜率 不可将导数与微分混为一谈,只能说存在性相同 【例】描述: 用洛必达法则求抽象函数的极限 函数的左右导数,与导函数的左右极限无关,两者互相不可推之。 🏳️🌈 2.1.2 基本运算导数公式及求导法则 (一)求导公式基本初等函数的导数公式 求导法有以下几种, 最核心的是前两种,解决了初等函数的求导问题 1有理运算求导法则 ⭐️2复合函数求导法则 ⭐️3隐函数求导法则4反函数的求导5参数方程求导法6对数求导法 ① 有理运算法则
【例】
若 y = f ( x ) y=f(x) y=f(x) 在某区间内可导,且 f ′ ( x ) ≠ 0 f'(x)\neq 0 f′(x)=0 ,则其反函数 x = ϕ ( y ) x=\phi(y) x=ϕ(y) 在对应区间内也可导,且 ϕ ( y ) = 1 f ′ ( x ) ; 即 d x d y = 1 d y d x \phi(y)=\frac{1}{f'(x)};即\;\; \frac{dx}{dy}=\frac{1}{\frac{dy}{dx}} ϕ(y)=f′(x)1;即dydx=dxdy1 【例】 一般遇到连乘或连除,可选择对数求导法 🏳️🌈 2.1.3 高阶导数 (一)高阶导数的概念n阶导数指(n-1)阶导函数的导数 强化班题型归类 主要就是导数的概念问题
凑一点的导数定义形式 分段函数在分界点处求导一般都用导数定义 【例】(技巧题)本题不局限于导数定义, 注意解法二中,令部分整体为函数的解题方法 描述:求分段点处的导数,常用导数定义 补充:一些补充的等价无穷小代换需要熟练掌握 描述:基础题,熟练做题思路 补充:无 既是重点也是难点 此处归纳该种题型有哪些出题方式,解题的一般方法是什么 【例】
结合上一题的结论 同样利用结论 总结已有题型,是为了后面做题能更快 函数可导性与绝对值可导性之间的关系 【题型总结:函数可导性与绝对值可导性之间的关系】
常考平面曲线方程,常有三种 直角坐标系下、参数方程形式、极坐标下 曲线的切线、法线等 【例】直角坐标系下,求切线方程 参数方程形式下,求法线方程 》描述:常规的复合函数求导 》补充:结合了 常见的奇偶函数奇(偶)函数的n阶导的奇偶性
描述: 补充:需注意使用定义法时,动点的两个条件 考频不高,但不可忽视 【例】
遇到连乘连除,求导不方便,可采用对数求导法 六、高阶导数常用方法:(三种方法) 1、用已知公式 2、通过求前几阶的导数,归纳n阶导数 3、利用泰勒级数(公式)
【例】 利用公式
解法一,使用导数的乘法公式 解法二,对于具体点,推荐使用泰勒级数(公式) 求哪个点,就写哪个点的泰勒级数(公式) 微分中值定理是基础; 是建立导数与函数的桥梁 此处共四个微分中值定理 (未包含积分中值定理) 》理论上,罗尔定理是拉格朗日中值定理的特例,即罗尔可证明的题,拉格朗日一定可证明(证明难度有区别) 同样,拉格朗日与柯西也是同样的关系 》罗尔定理虽然是拉格朗日以及柯西的特例, 但拉格朗日以及柯西都是构造辅助函数后,用罗尔定理证明所得, 注意体会罗尔定理的重要性 》中值定理中有一大堆题,都是构造辅助函数用罗尔定理证明(关键在于辅助函数的构造) 》四大中值定理之间的关系 【有关局部与整体】 【局部泰勒公式与整体泰勒公式】 首先要区分局部泰勒公式与整体泰勒公式 带有佩亚诺余项的为局部泰勒公式; 带有拉格朗日余项的为整体泰勒公式 【局部性态与整体性态】 局部性态: 只和一点的临近有关,叫做局部性态,如:极限、极值 整体性态:和极值对应的最值,因为最值是在一个区间上,强调的是整个区间的性态,而非一点临近的性态; 以及不等式,不等式强调的也是区间,既然是区间,则一定是整体性态,用整体泰勒公式 🏳️🌈 2.2.2 极值与最值关于极值这里,注意一个必要条件和三个充分条件 1、极值的概念注意,极值是一个局部性态 一阶导为零 当无可导的条件时,极值点与驻点无关 在可导的条件下, 极值点可推驻点, 驻点不可推极值点 言外之意:一个函数可导,则极值点只有可能在驻点上取 在不可导的地方,极值点只可能在导数不存在的点取到 极值共有三条充分条件 1第一充分条件2第二充分条件3第三充分条件(1)第一充分条件 第一充分条件:看驻点两侧一阶导数是否变号 变号,是极值;不变号,不是极值 (2)第二充分条件 第二充分条件加强了条件,这里是二阶可导 在函数的条件比较好,在有二阶导数且不为零的情况下,第二充分条件比较适用 局限性在于只能判定二阶可导的函数 (3)第三充分条件 注意:第三充分条件完全有可能作为证明题考查 利用泰勒联系高阶导数与函数解答(这里研究极值,属于局部形态,故用局部泰勒公式,即皮亚诺余项的泰勒公式) s1、先找所有可能取得的极值点(即驻点,和导数不存在的点这两种) s2、用充分条件做判定 对于导数不存在的点,只可用第一充分条件,通过两侧是否异号判定; 对于二阶导、n阶导都有的点,则可以考虑第二、三充分条件
一阶导数的正负反映函数的增减性 二阶导数的正负反映函数的凹凸性
共有三种渐近线 1水平渐近线2垂直渐近线3斜渐近线(1)水平渐近线 一条曲线的水平渐近线最多有两条 (2)垂直渐近线 (3)斜渐近线 一条曲线最多可由两条斜渐近线 注: 》在负无穷或正无穷的一侧,水平与斜最多只能存在一个 》三种渐近线,斜渐近线求解最复杂,但解法多样 2、斜渐近线的求解两种思路: ① 传统的求解a和b ② 描述曲线在一点处的弯曲程度 1、曲率的定义切线的拐角对弧长的变化率 对于由参数方程形式给出的曲线,可通过参数方程求导,仍使用公式一 曲率圆的几何意义需要掌握,属于可考内容 题型一、二属于基础题,简单 题型三、四属于综合题,较难 题型五最难 (考研数学难题一般出在高数部分,高数部分的难题一般是中值定理相关的证明题) 📘 题型一 函数的单调性及极值基本题型,不可丢分 【例】求函数单调区间、极值{描述}:常规题 {补充}:本题注意偶函数这一有利条件 {描述}:常规题,先求导数找驻点,再作判定 {补充}:对于驻点未完全解出,可代入原方程得解 {描述}:常规题,利用第一充分条件判断 {补充}:保号性的条件是去心邻域,故不能得出0处的二阶导为正,实际上0处的二阶导为零 {描述} {补充}:本题利用连续的条件 {补充}:函数二阶可导,在使用洛必达时,最多可出现一阶导 基本题型,不可丢分 //对于斜渐近线 【例】{描述} {补充}:本题实际上隐含了三阶可导的条件 {描述}:常规题,参数方程所确定的极值 {补充}:写区间时,注意到底是 t 还是 x {描述}:常规题,求斜渐近线 {补充}:注意求斜渐近线的特殊方法,转化为线性函数加无穷小 {描述} {补充} {描述} {补充}:利用偶函数特性简化答题 方程根的问题其实是两类问题: 第一类存在性问题第二类个数问题1、存在性问题 两类方法 (1)连续函数的零点定理 (2)罗尔定理 若零点定理不方便,常指两端点异号这个条件不好实现,则采用罗尔定理 2、个数问题 两类方法 (1)单调性 说明个数问题常用单调性 (2)罗尔定理的推论 如果单调性不好用,则用罗尔定理的推论 *3、两类问题的进阶常常含有参数 含有参数的方程根的问题,对于含有参数的方程根的问题在解答时常用一种特殊方法,就是将参数分离,常会使处理变得简单很多 综合题型
【罗尔定理推论的证明】 {描述}: {补充}: 题:略,待加 {补充}:注意题干的隐藏条件,x的定义域
{描述}: {补充}:联立二阶导与函数的关系,结合整体(拉格朗日余项)泰勒公式;//拉格朗日中值定理 泰勒公式的系数,是由一点的各阶导数导数值表示,故对题干中信息最多的点使用 解法一的目标是证明存在一点小于0,那么不用泰勒是否也可? 解法二中直接证,比泰勒简单,但要会找到这个点 综合题型 证明不等式常有五种方法: 1单调性2最大最小值3拉格朗日中值定理4泰勒公式5凹凸性1、单调性 最常用的方法,通常将不等式移到一边,构造函数,再用单调性解答。 4、泰勒公式 证明不等式用的是整体泰勒公式,即带有拉格朗日余项的泰勒公式 5、凹凸性 因为凹凸性就是由不等式定义的,所以不等式的证明可用凹凸性 注:五大方法中,前三种最常用;前三种中,最常用的是单调性 【例】{描述}: {补充}:基本结论:常用不等式 {补充}:本题中值定理不适用,因为不能保证中值的存在范围;故利用单调性解题 //此外,需要记住,构造的函数是为了服务于解题。构造的函数在定义域内的任意取值都可认为是在重新构造函数 {描述}:取对数,构造同一函数不同取值下的大小比较问题
① 为什么想到用泰勒中值定理? 答:题干中,由二阶导数问题求证函数的大小比较问题,即高阶导数与函数之间的问题求解,首先想到的是泰勒中值定理;其次,研究区域为R,故用整体泰勒(拉格朗日余项)。 ② 为什么想到在x=0处展开 答:展开的选择取决于哪一点函数导数值所知信息多。 解法二: 在这里插入图片描述 📘 题型五 微分中值定理有关的证明题难题高频出题考点 总得来说,可以概括为三大问题 第一类含有一阶导构造辅助函数,利用罗尔定理第二类双中值类型分离简单部分用拉格朗日第三类用带拉格朗日余项的泰勒公式 类型一、(变量、函数、一阶导)型这里的一阶导不是指具体的一阶导函数,实际上是指为了找到其原函数而描述的一阶导,如例7 形式其中,变量、函数存在与否不限定,但一阶导一定要存在核心思想构造辅助函数,用罗尔定理其中,构造辅助函数有2+1种方法: 分析还原法微分方程法利用总结的规律(熟练可首选)
本题分析还原法无法一眼看出,但需注意,使用分析还原法也有一定的思想 总结 (感觉没必要,直接推也很快) {描述}:(1)中不含一阶导,说明不是微分中值定理证明题,而是连续函数零点定理 {补充}: {} {补充}:所构造的辅助函数不是唯一的,取决于选择辅助函数的方法 第(1)问 解法一:用分析构造法找辅助函数 解法二:不借助辅助函数,直接利用拉格朗日中值定理 方法二:通过求微分方程确定辅助函数 {补充}:多想到使用罗尔定理的推论,简化解题 第(1)问 解法一:反证法 {描述}: {补充}:变上限积分求中值点,看似无导函数存在,实际含有 {描述}:具有一定的综合性,将微分中值定理同积分中值定理综合 {补充}:罗尔定理条件不足,需要获取条件 {补充}:注意这里辅助函数构造的手法
对于双中值定理的问题,需要使用两次中值定理,主要分两类问题 方法case1要求低 (双中值可以相同)同区间两次中值定理(拉格朗日、柯西)case2要求高 (双中值不同)分区间两次中值定理(难点在于分点的选取) case1、要求低(不要求两中值不同) 【例】
该类题型一般为中间点分割两区域,两区域分别用中值定理 // 难点考查为不给定分点,自己分析找出(注意例题中找出分点的思想方法) 逆推法 找分点 【例4】
利用逆推法求出中间点
// 高阶导数问题往往离不开泰勒 // 注意泰勒公式证明题中的另一种思想:多项式拟合
{补充}:在选择在哪一点使用泰勒中值定理时,一般选择已知信息多的点; 当条件所给的点的信息一样多,一般选择导数阶数高的点使用泰勒中值定理。 {补充}:新的思想方法:多项式拟合 待证结果为几次,就证明几次多项式 待整理 * 📘 补充题型 分段函数求导连续函数求导直接使用求导公式。 一点处的导数值需要用导数定义来求导。 求分段函数在分段点处的导数时,一般使用定义法求;但是当函数在分段点处连续的时候,可有其他方法,如下 若 (1) f ( x ) f(x) f(x) 在 x 0 x_0 x0 处连续; (2) f ( x ) f(x) f(x) 在 x 0 x_0 x0 的某空心邻域内可导; (3) lim x → x 0 f ′ ( x ) \lim_{x\to x_0}{f'(x)} limx→x0f′(x) 存在。 则, f ′ ( x 0 ) = lim x → x 0 f ′ ( x ) f'(x_0)=\lim_{x\to x_0}{f'(x)} f′(x0)=limx→x0f′(x) 【例】 |
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