等比数列前N项和的公式推导

设等比数列的前n项和为S(n), 等比数列的第一项为a1，比值为q。

（1） S ( n ) = a 1 + a 1 ∗ q + a 1 ∗ q 2 + . . . . + a 1 ∗ q ( n − 1 ) ; S(n) = a1 + a1 * q + a1 * q ^ 2 + .... + a1 * q ^ {(n - 1)}; S(n)=a1+a1∗q+a1∗q2+....+a1∗q(n−1);

（2） S ( n + 1 ) = a 1 + a 1 ∗ q + a 1 ∗ q 2 + . . . . + a 1 ∗ q ( n − 1 ) + a 1 ∗ q n ; S(n+1) = a1 + a1 * q + a1 * q ^ 2 + .... + a1 * q ^ {(n - 1)} + a1 * q ^ n; S(n+1)=a1+a1∗q+a1∗q2+....+a1∗q(n−1)+a1∗qn;

由（2）式减（1）式得 （3） S ( n + 1 ) − s ( n ) = a 1 ∗ q n ; S(n+1) - s(n) = a1 * q ^ n; S(n+1)−s(n)=a1∗qn;

由S(n) * q 得 （4） S ( n ) ∗ q = a 1 ∗ q + a 1 ∗ q 2 + . . . + a 1 ∗ q n ; S(n) * q = a1 * q + a1 * q ^ 2 + ... + a1 * q ^ n; S(n)∗q=a1∗q+a1∗q2+...+a1∗qn;

由（2）- （4）得 （5） S ( n + 1 ) − S ( n ) ∗ q = a 1 ; S(n+1) - S(n) * q = a1; S(n+1)−S(n)∗q=a1;

由（3） - （5） 得 [ S ( n + 1 ) − S ( n ) ] − [ S ( n + 1 ) − S ( n ) ∗ q ] = a 1 ∗ q n − a 1 ; [S(n+1) - S(n)] - [S(n+1) - S(n) * q] = a1 * q ^ n - a1; [S(n+1)−S(n)]−[S(n+1)−S(n)∗q]=a1∗qn−a1; 化简得： S ( n ) ∗ q − S ( n ) = a 1 ∗ ( q n − 1 ) ; S(n) * q - S(n) = a1 * (q ^ n - 1); S(n)∗q−S(n)=a1∗(qn−1); 即： S ( n ) = a 1 ∗ ( q n − 1 ) / ( q − 1 ) ; S(n) = a1 * (q ^ n - 1) / (q - 1); S(n)=a1∗(qn−1)/(q−1);