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设等比数列的前n项和为S(n), 等比数列的第一项为a1,比值为q。 (1) S ( n ) = a 1 + a 1 ∗ q + a 1 ∗ q 2 + . . . . + a 1 ∗ q ( n − 1 ) ; S(n) = a1 + a1 * q + a1 * q ^ 2 + .... + a1 * q ^ {(n - 1)}; S(n)=a1+a1∗q+a1∗q2+....+a1∗q(n−1); (2) S ( n + 1 ) = a 1 + a 1 ∗ q + a 1 ∗ q 2 + . . . . + a 1 ∗ q ( n − 1 ) + a 1 ∗ q n ; S(n+1) = a1 + a1 * q + a1 * q ^ 2 + .... + a1 * q ^ {(n - 1)} + a1 * q ^ n; S(n+1)=a1+a1∗q+a1∗q2+....+a1∗q(n−1)+a1∗qn; 由(2)式减(1)式得 (3) S ( n + 1 ) − s ( n ) = a 1 ∗ q n ; S(n+1) - s(n) = a1 * q ^ n; S(n+1)−s(n)=a1∗qn; 由S(n) * q 得 (4) S ( n ) ∗ q = a 1 ∗ q + a 1 ∗ q 2 + . . . + a 1 ∗ q n ; S(n) * q = a1 * q + a1 * q ^ 2 + ... + a1 * q ^ n; S(n)∗q=a1∗q+a1∗q2+...+a1∗qn; 由(2)- (4)得 (5) S ( n + 1 ) − S ( n ) ∗ q = a 1 ; S(n+1) - S(n) * q = a1; S(n+1)−S(n)∗q=a1; 由(3) - (5) 得 [ S ( n + 1 ) − S ( n ) ] − [ S ( n + 1 ) − S ( n ) ∗ q ] = a 1 ∗ q n − a 1 ; [S(n+1) - S(n)] - [S(n+1) - S(n) * q] = a1 * q ^ n - a1; [S(n+1)−S(n)]−[S(n+1)−S(n)∗q]=a1∗qn−a1; 化简得: S ( n ) ∗ q − S ( n ) = a 1 ∗ ( q n − 1 ) ; S(n) * q - S(n) = a1 * (q ^ n - 1); S(n)∗q−S(n)=a1∗(qn−1); 即: S ( n ) = a 1 ∗ ( q n − 1 ) / ( q − 1 ) ; S(n) = a1 * (q ^ n - 1) / (q - 1); S(n)=a1∗(qn−1)/(q−1); |
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