线性代数学习笔记（一）

本篇笔记从解方程组开始，并引入一种新运算，然后了解二阶行列式和三阶行列式相关定义，如元素、行标、列标、主对角线、次对角线等。同时为了研究行列式展开项与元素下标之间的关系，还引入了排列、逆序、逆序数、奇排列、偶排列、标准排列、自然排列、N级标准排列以及对换等概念。

{ 5 x + 6 y = 7 ① 9 x + 4 y = 3 ② \begin{cases} 5x+6y=7\qquad①\\ 9x+4y=3\qquad②\\ \end{cases} {5x+6y=7①9x+4y=3②​

将 ① × 9 、② × 5 ①×9、②×5 ①×9、②×5得： { 5 × 9 x + 6 × 9 y = 7 × 9 ③ 9 × 5 x + 4 × 5 y = 3 × 5 ④ \begin{cases} 5×9x+6×9y=7×9\qquad③\\ 9×5x+4×5y=3×5\qquad④\\ \end{cases} {5×9x+6×9y=7×9③9×5x+4×5y=3×5④​

将 ④ − ③ \color{red}{④-③} ④−③得： ( 5 × 4 − 6 × 9 ) y = 3 × 5 − 7 × 9 (5×4-6×9)y=3×5-7×9 (5×4−6×9)y=3×5−7×9

解得： y = 3 × 5 − 7 × 9 5 × 4 − 6 × 9 ⑤ y=\frac{3×5-7×9}{5×4-6×9}\qquad⑤ y=5×4−6×93×5−7×9​⑤

同理可得： x = 7 × 4 − 6 × 3 5 × 4 − 6 × 9 ⑥ x=\frac{7×4-6×3}{5×4-6×9}\qquad⑥ x=5×4−6×97×4−6×3​⑥

通过观察上述 ⑤ , ⑥ ⑤, ⑥ ⑤,⑥的值可以发现，分子和分母都是四个数分别为：两两先相乘，再相减。

通过左右两条竖线，中间放入四个数字，表示对角线上数字先相乘再相减，定义以下运算： ∣ a b c d ∣ = a d − c b \begin{vmatrix} a&b\\ c&d\\ \end{vmatrix} =ad-cb ​ac​bd​ ​=ad−cb

上述 x , y x, y x,y可表示为： { x = 7 × 4 − 6 × 3 5 × 4 − 6 × 9 = ∣ 7 3 6 4 ∣ ∣ 5 9 6 4 ∣ y = 3 × 5 − 7 × 9 5 × 4 − 6 × 9 = ∣ 3 9 7 5 ∣ ∣ 5 9 6 4 ∣ \begin{cases} x=\frac{7×4-6×3}{5×4-6×9}= \frac{ \begin{vmatrix} 7&3\\ 6&4\\ \end{vmatrix}}{ \begin{vmatrix} 5&9\\ 6&4\\ \end{vmatrix} }\\\\ y=\frac{3×5-7×9}{5×4-6×9}= \frac{ \begin{vmatrix} 3&9\\ 7&5\\ \end{vmatrix}}{ \begin{vmatrix} 5&9\\ 6&4\\ \end{vmatrix} } \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧​x=5×4−6×97×4−6×3​= ​56​94​ ​ ​76​34​ ​​y=5×4−6×93×5−7×9​= ​56​94​ ​ ​37​95​ ​​​

二阶行列式由4个数写成2行和2列，并在左右两边加上竖线组成。 ∣ a 11 a 12 a 21 a 22 ∣ \begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}\\ a_{21}&a_{22}\\ \end{vmatrix} ​a11​a21​​a12​a22​​ ​

行列式表示一个数，上述二阶行列式的值为： a 11 a 22 − a 12 a 21 a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21} a11​a22​−a12​a21​

元素：每个元素使用 a i j a_{ij} aij​表示。 行标： i i i为行标，表示第几行。 列标： j j j为列标，表示第几列。 主对角线：\，从左上角到右下角。 次对角线：/，从左下角到右上角。

举例： ∣ 1 7 9 3 ∣ = 1 × 3 − 9 × 7 \begin{vmatrix} 1&7\\ 9&3\\ \end{vmatrix} =1×3-9×7 ​19​73​ ​=1×3−9×7

∣ m n a b ∣ = m b − a n \begin{vmatrix} m&n\\ a&b\\ \end{vmatrix} =mb-an ​ma​nb​ ​=mb−an

∣ λ − 1 1 2 λ ∣ = λ ( λ − 1 ) − 1 × 2 \begin{vmatrix} \lambda-1&1\\ 2&\lambda\\ \end{vmatrix} =\lambda(\lambda-1)-1×2 ​λ−12​1λ​ ​=λ(λ−1)−1×2

∣ 爱 子 辈 你 ∣ = 爱你 − 辈子 \begin{vmatrix} 爱&子\\ 辈&你\\ \end{vmatrix} =爱你-辈子 ​爱辈​子你​ ​=爱你−辈子

三阶行列式也可以由方程组推出。它由9个数写成3行和3列，并在左右两边加上竖线组成。 ∣ a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 ∣ \begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33}\\ \end{vmatrix} ​a11​a21​a31​​a12​a22​a32​​a13​a23​a33​​ ​

三阶行列式也可按照二阶行列式的划线法（对角线展开法）方式求值，其值为： a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 − a 13 a 22 a 31 − a 12 a 21 a 33 − a 11 a 23 a 32 a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{13}a_{22}a_{31}-a_{12}a_{21}a_{33}-a_{11}a_{23}a_{32} a11​a22​a33​+a12​a23​a31​+a13​a21​a32​−a13​a22​a31​−a12​a21​a33​−a11​a23​a32​

总共有6项，其中主对角线方向3项为正数，次对角线方向3项为负数。

举例： ∣ λ 1 0 1 λ 1 0 0 1 ∣ = λ × λ × 1 + 1 × 1 × 0 + 1 × 0 × 0 − 0 × λ × 0 − 1 × 1 × 1 − 0 × 1 × λ \begin{vmatrix} \lambda&1&0\\ 1&\lambda&1\\ 0&0&1\\ \end{vmatrix} =\lambda×\lambda×1+1×1×0+1×0×0-0×\lambda×0-1×1×1-0×1×\lambda ​λ10​1λ0​011​ ​=λ×λ×1+1×1×0+1×0×0−0×λ×0−1×1×1−0×1×λ

注 \color{red}{注} 注：此处在视频21:27有误，第5项写成了：-1×1×0。

为了解理N阶行列式，引入以下概念： 排列：由 1 , 2 , . . . , n 1, 2, ..., n 1,2,...,n组成的一个有序数组叫n级排列。

例如： 123 123 123 132 132 132 213 213 213 231 231 231 312 312 312 321 321 321 以上都是3级排列。

3145不是5级排列，因为缺少数字2，不满足有序的条件，所以数组中不能缺数。

n级排列一共有 n ( n − 1 ) ( n − 2 ) . . . 3 × 2 × 1 = n ! n(n-1)(n-2)...3×2×1=n! n(n−1)(n−2)...3×2×1=n! 种。

逆序：比较大的数排在比较小的数前面构成逆序。例如：在排列 4213 4213 4213中，4排在2前面就构成了逆序。 逆序数：排列中逆序的总数。 例如： 在排列 4213 4213 4213中，逆序数为4，具体计算如下： 3（4后面比4小的数的个数）+1（2后面比2小的数的个数）+0（1后面比1小的数的个数）+0（3后面比3小的数的个数）

逆序数使用 N N N表示，例如： N ( 4213 ) = 4 N(4213)=4 N(4213)=4

奇排列：逆序数为奇数的排列。 偶排列：逆序数为偶数的排列。

标准排列：逆序数为0的排列，也称为自然排列。 由n个数构成的逆序数为0的排列称为N级标准排列。例如： N ( 123... n ) = 0 N(123...n)=0 N(123...n)=0

举例： 求： N ( 54123 ) N(54123) N(54123) 解： = 4 + 3 + 0 + 0 + 0 =4+3+0+0+0 =4+3+0+0+0 = 7 =7 =7 数逆序数的方法：从第一个数开始，依次数后面有几个比它小的数，顺序不能乱。

求： N ( n ( n − 1 ) ( n − 2 ) . . . 321 ) N(n(n-1)(n-2)...321) N(n(n−1)(n−2)...321) 解： = ( n − 1 ) + ( n − 2 ) + . . . + 2 + 1 =(n-1)+(n-2)+...+2+1 =(n−1)+(n−2)+...+2+1 = n ( n − 1 ) 2 =\frac{n(n-1)}2 =2n(n−1)​

对换：交换排列中的两个数。

例如： 54 12 ↔ 3 → 54213 54\overleftrightarrow{12}3→54213 5412 3→54213，

由前面可知： N ( 54123 ) = 7 N(54123)=7 N(54123)=7，而交换两个数后， N ( 54213 ) = 4 + 3 + 1 + 0 + 0 = 8 N(54213)=4+3+1+0+0=8 N(54213)=4+3+1+0+0=8

定理 1.1.1：一个排列经过一次对换，奇偶性会改变。

一个排列做偶数次对换，其奇偶性不变；一个排列做奇数次对换，其奇偶性改变。

定理 1.1.2：在所有的N级排列中，奇排列和偶排列的数量相等，各占： n ! 2 \frac{n!}2 2n!​。

《线性代数》高清教学视频 “惊叹号”系列 宋浩老师_哔哩哔哩 (゜-゜)つロ 干杯~-bilibili_1.1 二阶三阶行列式