基于PI双闭环解耦控制的三相SVPWM电压型逆变器(1)

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基于PI双闭环解耦控制的三相SVPWM电压型逆变器(1)

2023-12-24 14:03| 来源: 网络整理| 查看: 265

最近在研究三相逆变，写篇博客分享一下。

1. 电路拓扑

如下图所示，为三相电压型逆变电路的主电路拓扑。主电路主要由四部分组成，直流电源、6个开关管（互补导通）、三个滤波电感和滤波电容组成的滤波电路、负载，实际上是三个星接的电阻。

其中Udc表示直流侧电压，靠近直流侧的两个电容为输入滤波电容，Ua、Ub、Uc表示为每个逆变桥臂的中点到直流测电压负极，是逆变桥臂输出的每相脉冲电压，Ia、Ib、Ic表示为三个流经滤波电感的相电流，Ea、Eb、Ec表示为电容电压，也就是负载电压。Ioa、Iob、Ioc表示为流经负载的电流。

2. 逆变器的数学模型

需要通过建立逆变器的数学模型来研究该电路，为下一步设计控制器打好基础。分析这种电路，往往从电感、电容入手，根据KVL、KCL列写电路方程，进而得到电路的数学模型。

2.1 逆变器在三相静止坐标系下的数学模型

根据KVL定理，可列出副边abc三相的电压回路方程，公式（2.1）：

$\left\{\begin{matrix} L\frac{\mathrm{d} Ia}{\mathrm{d} t}=Ua - RIa-Ea\\ \\ L\frac{\mathrm{d} Ib}{\mathrm{d} t}=Ub - RIb-Eb\\ \\ L\frac{\mathrm{d} Ic}{\mathrm{d} t}=Uc - RIc-Ec \end{matrix}\right.\Rightarrow (2.1)$

式中，R为相应回路电感的等效阻值，Ua、Uc、Uc分别为a、b、c三相的相电压，Ia、Ib、Ic为流经电感的电流。

根据KCL定理，可以得出副边电流的回路方程，公式（2.2）

$\left\{\begin{matrix} C\frac{\mathrm{d} Ea}{\mathrm{d} t}=Ia-Ioa\\ \\ C\frac{\mathrm{d} Eb}{\mathrm{d} t}=Ib-Iob\\ \\ C\frac{\mathrm{d} Ec}{\mathrm{d} t}=Ic-Ioc \end{matrix}\right. \Rightarrow (2.2)$

通过公式（2.1）、公式（2.2），我们就得到了该逆变器在三相静止坐标系下的数学模型。三相静止坐标系abc下的数学模型虽然能够很好地买描述电压和电流之间的关系，但是模型中有多个输入、多个输出，表达式和变量比较多，难以设计相应的控制器。

2.2 逆变器在αβ轴坐标系下的数学模型

通过Clack变换可以将模型简化，得到αβ正交坐标系下的表达式。原理如下图所示：

因为 Δ/Yo 变压器的存在使原边线电压和为零，所以原边不存在零序分量，负载不平衡时作为扰动考虑，因此暂不考虑零轴，对应的变换关系为

$\begin{bmatrix} \chi _{\alpha }\\ \chi _{\beta} \end{bmatrix} =T_{abc\rightarrow \alpha \beta }\begin{bmatrix} \chi_{a}\\ \chi_{b}\\ \chi_{c} \end{bmatrix} \rightarrow (2.3)$

式中，变换矩阵 $T_{abc\rightarrow \alpha \beta } = \frac{2}{3}\begin{bmatrix} 1 &-\frac{1}{2} & -\frac{1}{2}\\ 0& \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \end{bmatrix}$ 。乘以2/3是因为做的是等电压的变换，实际上目的是使得在abc做坐标系下的通用适量和变换后的坐标系下的通用矢量相等，与此同时还有一种等功率的变换，和这个过程相似。

将式（2.1）、（2.2）、（2.3）联立，可以得出对应在αβ坐标系的方程，式（2.4）

$\left\{\begin{matrix} L\frac{\mathrm{d} I_{\alpha }}{\mathrm{d} t}=U _{\alpha } - RI_{\alpha}-E_{\alpha} \\ \\ L\frac{\mathrm{d} I_{\beta }}{\mathrm{d} t}=U _{\beta } - RI_{\beta }-E_{\beta }\\ \\ C\frac{\mathrm{d} E_{\alpha }}{\mathrm{d} t}=I_{\alpha }-I_{o\alpha }\\ \\ C\frac{\mathrm{d} E_{\beta}}{\mathrm{d} t}=I_{\beta}-I_{o\beta}\end{matrix}\right.\Rightarrow (2.4)$

经过Clack变换后，减少了控制变量，简化了控制系统。并且αβ分量相互独立，没有耦合在一起，控制起来比较方便。但是传统的PI控制器对于追踪交流量效果并不好，会有静态误差产生。但对于直流量并不会产生静态误差，所以说还要进行Pack变换，将式（2.4）转换到dq坐标系下。

2.3 逆变器在dq轴坐标系下的数学模型

将两相静止αβ 坐标系中的变量变换到两相旋转 dq 坐标系中称为 Park 变换，其原理如下图所示。

定义Park变换矩阵为 $C_{Park}$ ，可以得到如下式(2.5)所示的关系。

$\begin{bmatrix} U_{d}\\ \\ U_{q} \end{bmatrix} = C_{Park}\begin{bmatrix} U_{\alpha }\\ \\ U_{\beta } \end{bmatrix}\Rightarrow (2.5)$

中,变换矩阵 $C_{Park}$ 如下

$C_{Park} = \begin{bmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ & \\ -\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}$

通过联立式(2.4)、(2.5)可以得到对应在dq轴坐标系下的数学模型，表达式为：

$\left\{\begin{matrix} L\frac{\mathrm{d} I_{d }}{\mathrm{d} t}=U _{d} - RI_{d}-E_{d} +\omega L I_{q}\\ \\ L\frac{\mathrm{d} I_{q }}{\mathrm{d} t}=U _{q } - RI_{q }-E_{q }-\omega L I_{d}\\ \\ C\frac{\mathrm{d} E_{d }}{\mathrm{d} t}=I_{d}-I_{od }+\omega CE_{q}\\ \\ C\frac{\mathrm{d} E_{q}}{\mathrm{d} t}=I_{q}-I_{oq} - \omega CE_{d}\end{matrix}\right.\Rightarrow (2.6)$

通过 Park 变换可将数学模型转换到旋转坐标系下。因为坐标系与参考旋转矢量的旋转的方向还有速度是相同的，所以它们两个是相对静止，在旋转坐标系下为直流量，能够简化数学模型，使控制更容易实现。

与此同时，也带来了缺点由图可以看出，对于 d 轴，除控制量 $U_{d}$ 外，耦合电压 $\omega LI_{q}$ 和输出电压 $E_{d}$ 扰动都会对 $I_{d}$ 产生影响，输出电压 $E_{d}$ 除受到 $I_{d}$ 影响外还会受到耦合电流 $\omega CI_{d}$ 和负载扰动电流 $I_{oq}$ 的影响，同理，可以得出 q 轴上系统的耦合情况。这对控制器的设计来说并不是有利因素，因而在后面的设计过程中还需要解耦，在实际情况中，如果对输出电压要求并不是太高的话，可以不进行解耦。

3.逆变器的等效模型电路

在张兴的《PWM整流器》这本书中写到了这种等效变压器模型电路。

这里的 $d_{a}$ 、 $d_{b}$ 、 $d_{c}$ 、 $d_{a}$ '、 $d_{b}$ '、 $d_{c}$ '表示的是对应开关管的PWM占空比，可以用自耦变压器来代替开关管，进而得出变压器模型。

$\left\{\begin{matrix} d_{a} + {d_{a}}' = 1\\ d_{b} + {d_{b}}' = 1\\ d_{c} + {d_{c}}' = 1\ \end{matrix}\right.$

通过前面得出的dq坐标系下的数学模型，进一步可以得到dq坐标系下的变压器模型。通过这种模型可以帮助我们更好的去理解dq坐标系下的数学模型。

4.小结

通过以上变换得到了逆变器在不同坐标系下的数学模型，为控制器的设计打下了良好的基础。实际上控制器是按照dq坐标系下建立数学模型。

这里在建立数学模型的时候并没有去考虑调制的方法，实际上调制的方法是用来产生Ua，Ub、Uc的，完成建立数学模型并且完成设计控制器，我们就能得到目标的Ua，Ub、Uc，然后根据目标的Ua，Ub、Uc去调制，输出PWM，来产生原边电压，进而达到我们的控制要求。

还有一点就是这里的变换是通过矩阵的形式，在坐标系转换的运算过程中也是通过矩阵运算来实现的。

例如：

$\begin{bmatrix}\frac{\mathrm{d} E_{d}}{\mathrm{d} t} \\ \\ \frac{\mathrm{d} E_{q}}{\mathrm{d} t} \ \end{bmatrix}={(C_{Park}\begin{bmatrix}{ E_{\alpha }}\\ \\{ E_{\beta }} \end{bmatrix})}'={C_{Park}}'\begin{bmatrix} E_{\alpha }\\ \\ E_{\beta } \end{bmatrix}+C_{Park}\begin{bmatrix} \frac{\mathrm{d} E_{\alpha }}{\mathrm{d} t}\\ \\ \frac{\mathrm{d} E_{\beta }}{\mathrm{d} t} \end{bmatrix}$

其中， ${C_{Park}}' = \begin{bmatrix} -\omega \sin \omega t & \omega \cos \omega t\\ & \\ -\cos \omega t& -\sin \omega t \end{bmatrix}C_{Park}^{-1}$

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