正定矩阵的四个重要性质(附例子) | 您所在的位置:网站首页 › 矩阵的绝对值等于零 › 正定矩阵的四个重要性质(附例子) |
目录 一. 写在前面 二. 正定矩阵的基本定义 三. 从正定矩阵 到 特征值 四. 从特征值 到 正定矩阵 五. 从正定矩阵 到 行列式 六. 从正定矩阵 到 矩阵的主元 七. 从矩阵的主元 到 正定矩阵 八. 简单的讨论 8.1 行列式检验 8.2 特征值检验 总结 一. 写在前面在格密码的安全性归约证明中,有时要求格基是正定矩阵,本文章梳理正定矩阵的四个性质,也可以将其作为正定矩阵的判定方法。 需要用到几个线性代数的基础结论: 矩阵特征值的和等于对角线元素的和,求和的结果为矩阵的迹(trace)矩阵特征值的积等于矩阵的行列式;对称矩阵拥有标准正交的特征向量;矩阵的主元等于相邻子矩阵行列式的比值; 二. 正定矩阵的基本定义正定矩阵的前提要求是对称矩阵,要求对任意非零向量,满足: 先看一个简单的2行2列矩阵: 正定矩阵在格密码中的应用(知识铺垫)-CSDN博客 这篇文章告诉我们,满足如下条件的矩阵A即可被称之为正定矩阵: 矩阵特征值的和等于对角线元素的和,也就是矩阵的迹,很明显: 矩阵特征值的积等于矩阵的行列式,2行2列的矩阵有2个特征值,所以可得: 综上可以初步感受到正定矩阵的特征值均为正数。 还有另外一个有用的参数,叫矩阵的主元(pivot)。如果将 第一个完全平方式的系数为a,第二个完全平方式的系数为 备注:2行2列矩阵的主元有两个。 很明显函数系数均为正数,即主元均为正数的话,就可以直接判定矩阵的正定性。 三. 从正定矩阵 到 特征值证明:正定矩阵的特征值均为正数。 设特征值为 两边同时乘以向量x的转置,可得: 正定矩阵的定义告诉我们,左边为正数。所以,右边为正数,也就是所有特征值为正数。 证明完毕 四. 从特征值 到 正定矩阵证明:矩阵的特征值均为正数时,该矩阵为正定矩阵。 也就是已知: 尝试证明: 注意此处的x要求对任意向量成立,而不仅仅是特征向量。 线性代数基础知识告诉我们,对称矩阵拥有标准正交的特征向量(orthonormal eigenvectors),将其表示为 由此,将矩阵A与向量x的运算,改写为: 第一个等号:将向量x直接改写,并将常数c提到最前面; 第二个等号:特征值与特征向量的关系;简单复习下标准正交的性质。正交性告诉我们: 标准性(normalization)告诉我们: 由此将刚才的等式两边同时乘以向量x的转置,可得: 第一个等号:将向量x的转置表示成标准正交特征向量的格式; 第二个等号:正交性与标准性质; 当所有的特征值大于0,也就是 证明完毕。 五. 从正定矩阵 到 行列式先看一个简单例子: 很容易计算,该矩阵的行列式为1,detA=1。 但这个矩阵是负的单位阵: 很明显不是正定矩阵,更准确来讲是负定矩阵(negative definite)。这也说明单纯看行列式的正负是不能反应矩阵的正定性。 那怎么办? 对于n维的矩阵来讲,从左上角开始,它的子矩阵,并且要求是方阵的情况,一共有n种,如下: 证明:正定矩阵的子矩阵行列式均为正的。 解: 任意矩阵A的行列式即为特征值的乘积。已经证明了,正定矩阵的特征值均为正数,那么说明矩阵A的行列式也肯定为正数,但现在,它的子矩阵怎么证明呢? 给出任意n维向量,我们考虑前k项任意,但要求后n-k项为0,那么可得: 也就是: 那么我们可以运算得到: 其中“*”代表原始矩阵A剩下的元素。 由此证明子矩阵 证明完毕。 六. 从正定矩阵 到 矩阵的主元证明:正定矩阵的主元均为正数 解: 将矩阵的第k个主元叫 以上证明告诉我们,正定矩阵的行列式均为正数,子矩阵的行列式也为正数,所以可得矩阵的主元也为正数。 证明完毕。 七. 从矩阵的主元 到 正定矩阵证明:当矩阵的主元均为正数时,该矩阵为正定矩阵。 解: 2行2列的矩阵肯定符合,这个我们在正定矩阵的定义中就证明过。 推广到任意n维矩阵时,需要将矩阵进行分解。分解成下三角矩阵和对称矩阵,如下: 接下来我们举个例子会更加清楚。 举一个三阶矩阵分解的例子,如下: 结合正定矩阵的要求,我们运算: 三阶矩阵的对称三维向量,可以先做下三角矩阵与向量的运算: 紧接着我们可以把矩阵与向量运算的结果表示成函数的格式。在写之前,我们就知道了矩阵的主元是位于完全平方差系数的位置,由此可得: 很显然当矩阵主元均为正数时,该函数也肯定恒为正数,也就是 证明完毕。 备注:特征值与矩阵的主元是两个完全不一样的元素。 八. 简单的讨论还是以刚才三阶矩阵为例子。 8.1 行列式检验我们可以首先用特征值对每个子矩阵进行判断下: 全为正数,再次说明A为正定矩阵。 8.2 特征值检验三阶对称矩阵的特征值有三个数,可得: 全为正数,再次说明A为正定矩阵。 总结正定矩阵拥有如下性质: 正定矩阵的特征值均为正数。正定矩阵的子矩阵行列式均为正的。正定矩阵的主元均为正数正定矩阵对任意向量x,满足以上均为充分必要条件,也就是可以将这四个作为正定矩阵的判定条件,也是可以的。在格密码利用矩阵进行安全性分析时,以上性质会非常有用,比如格基矩阵怎么取等等。 |
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