对数函数基础运算法则及例题,答案.doc

对数函数的定义：

函数叫做对数函数，定义域为，值域为．

对数的四则运算法则：

若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，则

(1);

(2) ;

(3).

(4)

对数函数的图像及性质

a＞1

0＜a＜1

图

象

性

质

定义域：（0，+∞）

值域：R

过点（1，0），即当x=1时，y=0

时

时

时

时

在（0，+∞）上是增函数

在（0，+∞）上是减函数

例1．已知x =时，不等式 loga (x2 – x – 2)＞loga (–x2 +2x + 3)成立，

求使此不等式成立的x的取值范围.

解：∵x =使原不等式成立. ∴loga[]＞loga

即loga＞loga. 而＜. 所以y = logax为减函数，故0＜a＜1.

∴原不等式可化为， 解得.

故使不等式成立的x的取值范围是

例2．求证：函数f (x) =在(0, 1)上是增函数.

解：设0＜x1＜x2＜1，

则f (x2) – f (x1) = =

∵0＜x1＜x2＜1，∴＞1，＞1. 则＞0，

∴f (x2)＞f (x1). 故函数f (x)在(0, 1)上是增函数

例3．已知f (x) = loga (a – ax) (a＞1).

（1）求f (x)的定义域和值域； （2）判证并证明f (x)的单调性.

解：（1）由a＞1，a – ax＞0，而a＞ax，则x＜1. 故f (x)的定义域为( -∞,1)，

而ax＜a，可知0＜a – ax＜a， 又a＞1. 则loga(a – ax)＜lgaa = 1.

取f (x)＜1，故函数f (x)的值域为(–∞, 1).

（2）设x1＞x2＞1，又a＞1， ∴＞，∴＜a-，

∴loga (a –)＜loga (a –)，

即f (x1)＜ f (x2)，故f (x)在(1, +∞)上为减函数.

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