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对数函数基础运算法则及例题,答案.doc
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对数函数的定义: 函数叫做对数函数,定义域为,值域为. 对数的四则运算法则: 若a>0,a≠1,M>0,N>0,则 (1); (2) ; (3). (4) 对数函数的图像及性质
a>1 0<a<1
图 象
性 质 定义域:(0,+∞)
值域:R
过点(1,0),即当x=1时,y=0
时 时 时 时
在(0,+∞)上是增函数 在(0,+∞)上是减函数
例1.已知x =时,不等式 loga (x2 – x – 2)>loga (–x2 +2x + 3)成立, 求使此不等式成立的x的取值范围. 解:∵x =使原不等式成立. ∴loga[]>loga 即loga>loga. 而<. 所以y = logax为减函数,故0<a<1. ∴原不等式可化为, 解得. 故使不等式成立的x的取值范围是 例2.求证:函数f (x) =在(0, 1)上是增函数. 解:设0<x1<x2<1, 则f (x2) – f (x1) = = ∵0<x1<x2<1,∴>1,>1. 则>0, ∴f (x2)>f (x1). 故函数f (x)在(0, 1)上是增函数 例3.已知f (x) = loga (a – ax) (a>1). (1)求f (x)的定义域和值域; (2)判证并证明f (x)的单调性. 解:(1)由a>1,a – ax>0,而a>ax,则x<1. 故f (x)的定义域为( -∞,1), 而ax<a,可知0<a – ax<a, 又a>1. 则loga(a – ax)<lgaa = 1. 取f (x)<1,故函数f (x)的值域为(–∞, 1). (2)设x1>x2>1,又a>1, ∴>,∴<a-, ∴loga (a –)<loga (a –), 即f (x1)< f (x2),故f (x)在(1, +∞)上为减函数.
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