2020年高考真题 数学 (天津卷)

（Ⅰ）（i）当时，，故．可得，，所以曲线在点处的切线方程为，即．

（ii）依题意，．从而可得，整理可得．令，解得．

当变化时，的变化情况如下表：

所以，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；的极小值为，无极大值．

（Ⅱ）证明：由，得．

对任意的，且，令，则

．        ①

令．当时，，由此可得在单调递增，所以当时，，即．

因为，，

所以，

．        ②

由（Ⅰ）（ii）可知，当时，，即，

故．        ③

由①②③可得．所以，当时，对任意的，且，有．