Helmholtz方程在直角坐标系下的变量分离及高维Fourier展开

将分离变量法推广到高维情况。在正交曲线坐标系下对数学物理方程分离变量，会出现某些变系数线性常微分方程，这些方程的解在数学物理中有广泛应用，是一些特殊函数。

在求高维空间中发展方程的变量分离形状解时，通常先把时间变量分离出去，得到仅含空间变量的偏微分方程。如对于三维波动方程 u t t = a 2 Δ 3 u u_{tt}=a^2\Delta_3u utt​=a2Δ3​u或热传导方程 u t = a 2 Δ 3 u u_t=a^2\Delta_3u ut​=a2Δ3​u，均可令 u = T ( t ) v ( x , y , z ) u=T(t)v(x,y,z) u=T(t)v(x,y,z)，代入方程，两边同除以 T v Tv Tv，分别得 T ′ ′ T = a 2 Δ 3 v v 或 T ′ T = a 2 Δ 3 v v \frac{T''}{T}=a^2\frac{\Delta_3v}{v}或\frac{T'}{T}=a^2\frac{\Delta_3v}{v} TT′′​=a2vΔ3​v​或TT′​=a2vΔ3​v​ 分离得常微分方程 T ′ ′ + a 2 k 2 T = 0 或 T ′ + a 2 k 2 T = 0 T''+a^2k^2T=0 或 T'+a^2k^2T=0 T′′+a2k2T=0或T′+a2k2T=0 和亥姆霍兹（Helmholtz）方程 Δ 3 v + k 2 v = 0 (1) \Delta_3v+k^2v=0 \tag{1} Δ3​v+k2v=0(1) Laplace方程 Δ 3 v = 0 \Delta_3v=0 Δ3​v=0 可视作 H e l m h o l t z Helmholtz Helmholtz方程 k = 0 k=0 k=0的特殊特殊情形。进一步对v的分离变量则依赖于坐标系的选取。

在空间矩形区域上求解时，应采用直角坐标系，此时Laplace算子有简单表示形式 Δ 3 = ∂ 2 ∂ x 2 + ∂ 2 ∂ y 2 + ∂ 2 ∂ z 2 \Delta_3=\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2} Δ3​=∂x2∂2​+∂y2∂2​+∂z2∂2​ 设 v ( x , y , z ) = X ( x ) Y ( y ) Z ( z ) v(x,y,z)=X(x)Y(y)Z(z) v(x,y,z)=X(x)Y(y)Z(z)，代入Helmholtz方程（1），得 X ′ ′ X + Y ′ ′ Y + Z ′ ′ Z + k 2 = 0 \frac{X''}{X}+\frac{Y''}{Y}+\frac{Z''}{Z}+k^2=0 XX′′​+YY′′​+ZZ′′​+k2=0 逐层剥离，得常微分方程 X ′ ′ + λ X = 0 ( 2 a ) Y ′ ′ + μ Y = 0 ( 2 b ) Z ′ ′ + v Z = 0 ( 2 c ) X''+\lambda X=0 \quad(2a)\\ Y''+\mu Y=0 \quad(2b)\\ Z''+vZ=0 \quad(2c) X′′+λX=0(2a)Y′′+μY=0(2b)Z′′+vZ=0(2c) 其中，参数有关系式 λ + μ + v = k 2 \lambda+\mu+v=k^2 λ+μ+v=k2 它们配以相应的齐次边界条件，分别构成最简S-L型方程的固有值问题。求出相应的固有值、固有函数、可得高维Fourier展开形式的解。

例1：求长方体内稳恒温度分布 { ∂ 2 u ∂ x 2 + ∂ 2 u ∂ y 2 + ∂ 2 u ∂ z 2 = 0 , 0 < x < a , 0 < y < b , 0 < z < c ( 3 a ) u ∣ x = 0 = ∂ u ∂ x ∣ x = a = ∂ u ∂ y ∣ y = a = u y = b = 0 , ( 3 b ) u ∣ z = 0 = 0 , u z = c = φ ( x , y ) ( 3 c ) \begin{cases} \frac{\partial^2u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2u}{\partial y^2}+\frac{\partial^2u}{\partial z^2}=0,\quad 0