原神抽卡机制研究（二）

注意，本文为历史性存档文章，记录了最初分析原神抽卡机制时的一些探索过程，保留了文章发布时的风貌。最初采用的数据较为有限，其中的一些细节并不符合后来更详细的统计结果。

如果想要了解原神抽卡机制，请移步原神抽卡全机制总结。如果想要通过了解原神抽卡机制来规划抽卡，请移步原神抽卡概率工具表。

本文侧重于记录分析与模型建立过程，针对角色活动祈愿和常驻祈愿。原神抽卡全机制总结已经于专栏总结篇给出。

        在上次对五星的抽卡机制进行研究并得到还不错的结论后，我就打算也分析一下四星的抽卡机制。当时想的很美好，四星的数据比五星的数据好获取多了，肯定很快就可以得到结论。谁知道，分析四星抽卡机制的过程经历了种种问题，花了三个月继续这项工作，现在（指2021年2月）才得到堪堪能参考的经验模型。后续更新本文时（2021年4月）建立的模型已经相当完备。

        海量数据的获取是寻找抽卡规律的基础。从看自己的抽卡记录，看主播抽卡视频，到统计弹幕中出货抽数，之前我的数据来源或许说得上量大，但是准确性堪忧。

        得益于抓包导出抽卡记录的工具，在三个月里我收集到了量大且准确的数据供这次分析使用。

        第一批募集到的数据中有54722条抽卡记录，因收集时未声明会公开数据，故没有公开，在本文中仅做参考数据使用。

        第二批募集到的数据中目前有77500条抽卡记录，抽卡记录文件及简易分析工具在GitHub的GI_gacha_dataset项目上，数据会持续更新。

        2021年4月9日更新本文时，收集到的数据已有19万条。

四星概率上升位置

       观察数据，抽到四星的概率于距离上次抽到四星后八次都没有抽到四星后开始上升，也即是第9次处开始上升。

五星不会重置四星的保底

       观察数据，当已经连续九次没有抽到四星，且接下来一次抽到五星时，再接下来一抽一定不会抽到三星，相当于五星物品将四星物品从第十发挤到了第十一发，发生这种情况的四星约占所有四星的0.5%。对比中途抽到五星和中途没有抽到五星的情况，抽到四星所需抽数的分布大体不变，中途抽到了五星并不会使得抽到四星所需抽数显著增长。

       据此推测，有可能出现连续九抽没有抽到四星后连续抽到两个五星，再抽一次抽到四星，这样距离上个四星后又抽了十二次才抽到四星，但这概率太低了，我也没有观察到这样情况。（2021年4月更新本文时已经发现一例）

十连和单抽对四星抽取可以认为没有区别

       观察数据，十连并不会像很多玩家认为的那样，在计算时发现前9次没有四星在第10次抽取时强行塞一个四星进去，形成十连必有一个四星的情况。事实上，两次四星之间间隔不超过十次是十连必有一个四星的充分条件，不需要制定一个检测十连是否有至少一个四星，否则塞一个四星进去的规则。数据中十连和单抽除了拉取数据中十连具有相同抽卡时间记录外，都是有序的，十连与单抽几乎没有区别。如果十连并不会带来强制加入的四星物品，那么就会出现十连有五星，没有四星的情况：五星碰巧把四星挤到第十一次去了。我看到了有这样的截图，但是不能确定其真实性，不过从其他方面足以说明区分十连和单抽意义不大。

四星和五星之间概率分配特征

        四星和五星没有耦合时，举例设前8次没有抽到四星，第9次抽到四星的概率为1/2，前78次没有抽到五星时，第79次抽到五星的概率为1/3。那么当这两种情况耦合到一起时，四星和五星之间的概率是怎样分配的？

        第一种设想是这一抽有1/3的概率抽到五星，剩下2/3部分中有1/2概率抽到四星。总的来说1/3概率是五星，1/3概率是四星，1/3概率是三星。

        第二种设想是五星和四星各占据自己的比例，两者概率之和大于1时五星更优先。这样的话五星占1/3概率，四星占1/2概率，三星占(1-1/3-1/2)=1/6概率。

        在数据中发现，类似情况中三星物品出现的频率非常低，比例接近于第二种设想。

        最开始我忽视了四星和五星的耦合问题，简单的将分析五星的方法应用于四星，调整第9次出四星的条件概率使得综合概率匹配13%，按照米哈游官网文字描述在四星中按概率划分UP四星角色、非UP四星角色、四星武器。

        但是收集到的数据中四星的分布明显和我预计的不同，每次抽到四星时，位于上一个四星后的第9次抽卡的比例明显高于预期。角色祈愿中UP四星角色约占四星的68%，四星武器约占28%，其他四星角色约占4%，其他四星角色的比例明显低于预计。

        思考了很久后我发现我忽视了四星与五星的耦合问题，抽卡系统设计者有充足的时间进行工作，肯定考虑的很到位。在目前的假设下，每次抽卡仅与前有限次抽卡相关联，满足高阶马尔科夫性质，我便定义了一个很大的概率转移矩阵来进行综合概率和分布的计算。

        令人沮丧的是，考虑了四星与五星的耦合后的模型仍和实测值仍有很大的差距。

        随着收集到的抽卡记录越来越多，四星的抽取记录已经来到了上万条，发现无论采用怎样的纠偏方式去除系统偏差，四星的综合概率的无偏估计量始终高于13%。

        我产生了一个大胆的想法：四星实际的综合概率难道比官方公布的13.00%更高？借助贫瘠的统计学知识，我尝试用大数定理和假设检验对数据进行分析，发现实际概率高于13.00%的可能性确实不低。虽然有人指出我的验证方法在数学上并不严格，但这足以为我壮胆去尝试一下建立不符合官方公布信息的模型。

        通过概率转移矩阵计算分布，不断调整第9次出四星的条件概率使得四星位于第9抽的比例匹配获得数据中比例。以此方法建立了如下经验模型。

        每次抽卡，抽到五星的概率为P_5，抽到四星的概率为P_4，抽到三星的概率为1-P_5-P_4。当P_4+P_5>1时，抽到五星的概率为P_5，抽到四星的概率为1-P_5，抽到三星的概率为0。*抽到五星的概率P_5采取上篇专栏中构造的五星抽取模型

        对于角色活动祈愿，若上次抽到的四星不是活动祈愿UP四星角色，则这次一定是活动祈愿UP四星角色。

        若上次抽到的四星是活动祈愿UP的四星角色，则这次有50%概率直接抽到活动UP四星角色。若没有直接抽到活动UP四星角色，抽到四星按照下表的经验值进行分配。

        按照经验值进行分配后，若抽到角色，祈愿中包含的所有四星角色平分概率（包含UP角色）。若抽到武器，祈愿中包含的所有四星武器平分概率。

        前文建立的经验模型繁复而牵强，仅仅是拟合了部分统计特征，并不能令我满意。随着收集信息的增多，根据其他池的情况对常驻和角色祈愿四星的概率进行了小调整，调整后四星综合概率为13.0567%（考虑耦合五星），具体如下：

        某天我在后台查看评论的时候，发现有人称“常驻池你这次是五星武器，下次就是五星人物，轮着来的”。我当即用手上的案例反驳了这条评论，但是转念一想，我确乎是没有注意过这方面的统计特征。不看不知道，一看吓一跳，收集到的数据中常驻祈愿两个同类型五星之间的间隔没有超过246抽的，在这么大量级的数据下这相当不寻常。网友小明明-明中观察使用数据集中玩家的抽卡次数做了模拟，证实常驻祈愿五星中两类物品不会互相影响的可能性很低。五星的数据量相对较少，而四星也有类似的统计特征，于是先研究四星机制，再用四星的机制演绎五星的机制并验证。

        经过数据分析，发现常驻祈愿中本次抽到的四星物品的类别与距离上次抽到同类别物品的抽数有关，和中途抽到的异类四星数量无关，且武器和角色的统计特征是对等的。这个机制会防止玩家只有角色没有武器，或只有武器没有角色，我称之为“平稳机制”。故对距离上次出本类物品i抽时出的四星是本类还是异类进行统计。统计结果显示，两个同类四星的间隔没有超过29抽（此处前为笔误写为19抽）的，距离上个同类四星17抽后，抽到同类四星的概率开始提升。于是根据数据特征结合公示的抽卡概率常数，使用轮盘选择法建立了以下模型。（篇幅所限，详见机制总结篇）

使用同样的统计量，通过模拟对建立的模型进行验证：

        可以看到符合的还是相当不错的，实际占比的波动在允许的置信范围内，建立的模型是相当可用的。将“平稳机制”运用于角色UP池，能够完美的符合非UP四星角色占比。

        将建立的模型推广到五星和其他祈愿，结合数据验证，最后整理出了原神所有的抽卡机制，建立的模型能够很好的满足统计特征。你想了解的话可以去看看最后的总结篇。

完成所有工作后再想去评论区找那条虽然不正确，但启发了我的评论，却是怎么也找不到了。

        原神的四星实际综合概率比官方公示值略高，本文中建立的模型能很好贴合实际情况。

        四星抽卡模型的建立过程非常的痛苦，本想完全依据官方给出的信息进行建模，奈何并不能匹配实际数据，最初只能选择建立并不优雅的经验模型去凑，还因为实际概率很可能比公示概率高，发了不少牢骚。后来引入了“平稳机制”后终于找到了一个简洁、符合逻辑，又可以满足所有统计特征的模型。研究的过程还算有趣，使用了繁多的方法，建立过各种模型，最后也得到了一个能让我自己满意的模型。