轮胎侧偏角、侧向力分析说明

如图所示：

图中：    X − O − Y X - O - Y X−O−Y 为全局直角坐标系；    x − o − y x - o - y x−o−y 为车身直角坐标系，其中： o o o 为前轮转向中心， x x x 为车头朝向；    x ′ − o ′ − y ′ x' - o' - y' x′−o′−y′ 为前轮直角坐标系，其中： o ′ o' o′ 为前轮转向中心， x ′ x' x′ 为轮胎前进方向；    φ \varphi φ 为航向角；    δ \delta δ 为前轮转角。   侧偏角是指纵向速度和合速度之间的夹角， x x x 轴上方为正，下方为负。在不同的坐标系中，同一点的侧偏角并不相同，其计算方式为对应坐标系下的侧向速度除以纵向速度然后取反正切，正负号根据对应坐标系的 x x x 轴进行判断。例如图中：    β f \beta_f βf​ 为前轮中心 o ′ o' o′ 在 x − o − y x - o - y x−o−y 坐标系下的侧偏角，符号为正： β f = arctan ⁡ v y , f o v x , f o \beta_f = \arctan \frac{v_{y,f}^o}{v_{x,f}^o} βf​=arctanvx,fo​vy,fo​​

   α f \alpha_f αf​ 为前轮中心 o ′ o' o′ 在 x ′ − o ′ − y ′ x' - o' - y' x′−o′−y′ 坐标系下的侧偏角，符号为正： α f = arctan ⁡ v y , f t v x , f t \alpha_f = \arctan \frac{v_{y,f}^t}{v_{x,f}^t} αf​=arctanvx,ft​vy,ft​​

(上标 o o o 表示在 x − o − y x - o - y x−o−y 坐标系中的速度矢量，上标 t t t 表示在 x ′ − o ′ − y ′ x' - o' - y' x′−o′−y′ 坐标系中的速度矢量)

  将点 o ′ o' o′ 在 x − o − y x - o - y x−o−y 坐标系下的速度转换到 x ′ − o ′ − y ′ x' - o' - y' x′−o′−y′ 坐标系中，得： v x , f t = v x , f o ⋅ cos ⁡ δ   +   v y , f o ⋅ sin ⁡ δ , v y , f t = v y , f o ⋅ cos ⁡ δ   −   v x , f o ⋅ sin ⁡ δ , \begin{matrix} v_{x,f}^t = v_{x,f}^o \cdot \cos \delta \ + \ v_{y,f}^o \cdot \sin \delta, \\ \\ v_{y,f}^t = v_{y,f}^o \cdot \cos \delta \ - \ v_{x,f}^o \cdot \sin \delta, \end{matrix} vx,ft​=vx,fo​⋅cosδ + vy,fo​⋅sinδ,vy,ft​=vy,fo​⋅cosδ − vx,fo​⋅sinδ,​

综合上述表达式，得：

α f = arctan ⁡ v y , f o ⋅ cos ⁡ δ   −   v x , f o ⋅ sin ⁡ δ v x , f o ⋅ cos ⁡ δ   +   v y , f o ⋅ sin ⁡ δ = arctan ⁡ v y , f o v x , f o   −   tan ⁡ δ 1   +   v y , f o v x , f o ⋅ tan ⁡ δ = arctan ⁡ tan ⁡ β f   −   tan ⁡ δ 1   +   tan ⁡ β f ⋅ tan ⁡ δ = β f − δ \alpha_f = \arctan \frac{v_{y,f}^o \cdot \cos \delta \ - \ v_{x,f}^o \cdot \sin \delta}{v_{x,f}^o \cdot \cos \delta \ + \ v_{y,f}^o \cdot \sin \delta} = \arctan \frac{\frac{v_{y,f}^o}{v_{x,f}^o} \ - \ \tan \delta}{1 \ + \ \frac{v_{y,f}^o}{v_{x,f}^o} \cdot \tan \delta} = \arctan \frac{\tan \beta_f \ - \ \tan \delta}{1 \ + \ \tan \beta_f \cdot \tan \delta} = \beta_f - \delta αf​=arctanvx,fo​⋅cosδ + vy,fo​⋅sinδvy,fo​⋅cosδ − vx,fo​⋅sinδ​=arctan1 + vx,fo​vy,fo​​⋅tanδvx,fo​vy,fo​​ − tanδ​=arctan1 + tanβf​⋅tanδtanβf​ − tanδ​=βf​−δ

  对于轮胎侧向力的计算，采用的是相对于轮胎坐标系下的侧偏角 ( α f \alpha_f αf​ )，在纯侧滑的情况下，轮胎侧向力与侧偏角的关系曲线如下图所示，可以看出，轮胎侧向力与侧偏角的符号是相反的。如果侧向力采用近似线性计算，则侧偏刚度往往取侧偏角为 0 0 0 处的斜率 − C f -C_f −Cf​，从而计算得到侧向力为：

F y , f = − C f ⋅ α = C f ⋅ ( δ   −   β f ) F_{y,f} = -C_f \cdot \alpha = C_f \cdot (\delta \ - \ \beta_f) Fy,f​=−Cf​⋅α=Cf​⋅(δ − βf​)

  在评论区中有朋友提到这样的问题：在某些文章或者书本绘制的示意图中，侧偏角绘制在前轮转角内，如下图所示，但是无论侧偏角在前轮转角内侧还是外侧，最终计算侧向力的表达式相同。造成这种殊途同归的情况，个人认为原因在于应用的侧偏角和侧向力的相关曲线不同。下面讲述一下个人的理解。   依据上图所示情况，可得：

α f = δ   −   β f \alpha_f = \delta \ - \ \beta_f αf​=δ − βf​

这与上文中推导的侧偏角 ( α f \alpha_f αf​ ) 正好相差一个负号。   仍然约定侧偏角在 x x x 轴上方为正，下方为负。依据上文中的推导过程，同理可得：

β f = arctan ⁡ v y , f o v x , f o , α f = arctan ⁡ v y , f t v x , f t , v x , f t = v x , f o ⋅ cos ⁡ δ   +   v y , f o ⋅ sin ⁡ δ , v y , f t = v x , f o ⋅ sin ⁡ δ   −   v y , f o ⋅ cos ⁡ δ , \begin{matrix} \beta_f = \arctan \frac{v_{y,f}^o}{v_{x,f}^o}, \\ \\ \alpha_f = \arctan \frac{v_{y,f}^t}{v_{x,f}^t}, \\ \\ v_{x,f}^t = v_{x,f}^o \cdot \cos \delta \ + \ v_{y,f}^o \cdot \sin \delta, \\ \\ v_{y,f}^t = v_{x,f}^o \cdot \sin \delta \ - \ v_{y,f}^o \cdot \cos \delta, \end{matrix} βf​=arctanvx,fo​vy,fo​​,αf​=arctanvx,ft​vy,ft​​,vx,ft​=vx,fo​⋅cosδ + vy,fo​⋅sinδ,vy,ft​=vx,fo​⋅sinδ − vy,fo​⋅cosδ,​

  综合上述表达式，得：

α f = arctan ⁡ v x , f o ⋅ sin ⁡ δ   −   v y , f o ⋅ cos ⁡ δ v x , f o ⋅ cos ⁡ δ   +   v y , f o ⋅ sin ⁡ δ = arctan ⁡ tan ⁡ δ   −   v y , f o v x , f o 1   +   v y , f o v x , f o ⋅ tan ⁡ δ = arctan ⁡ tan ⁡ δ   −   tan ⁡ β f 1   +   tan ⁡ β f ⋅ tan ⁡ δ = δ − β f \alpha_f = \arctan \frac{v_{x,f}^o \cdot \sin \delta \ - \ v_{y,f}^o \cdot \cos \delta}{v_{x,f}^o \cdot \cos \delta \ + \ v_{y,f}^o \cdot \sin \delta} = \arctan \frac{ \tan \delta \ - \ \frac{v_{y,f}^o}{v_{x,f}^o}}{1 \ + \ \frac{v_{y,f}^o}{v_{x,f}^o} \cdot \tan \delta} = \arctan \frac{\tan \delta \ - \ \tan \beta_f}{1 \ + \ \tan \beta_f \cdot \tan \delta} = \delta - \beta_f αf​=arctanvx,fo​⋅cosδ + vy,fo​⋅sinδvx,fo​⋅sinδ − vy,fo​⋅cosδ​=arctan1 + vx,fo​vy,fo​​⋅tanδtanδ − vx,fo​vy,fo​​​=arctan1 + tanβf​⋅tanδtanδ − tanβf​​=δ−βf​

  在这种情况下，应该对应如下侧偏角与侧向力关系曲线，而不是上文给出的曲线，所以对应的近似线性侧偏刚度为 C f C_f Cf​，从而计算得到侧向力为：

F y , f = C f ⋅ α f = C f ⋅ ( δ   −   β f ) F_{y,f} = C_f \cdot \alpha_f = C_f \cdot (\delta \ - \ \beta_f) Fy,f​=Cf​⋅αf​=Cf​⋅(δ − βf​)

倒车动力学模型

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