【数理方程】傅里叶级数

信号与系统笔记

直 流 分 量 ≠ 基 波   谱 线 间 隔 ： 不 含 直 流 ： 1 T 含 直 流 ： 2 T = 带 宽   幅 度 谱 就 是 c n 或 d n 的 谱 相 位 谱 就 是 φ n 或 θ n 的 谱 直流分量\ne 基波\\\ \\ 谱线间隔：不含直流：\frac 1 T\\ 含直流：\frac 2 T=带宽\\\ \\ 幅度谱就是c_n或d_n的谱\\ 相位谱就是\varphi_n或\theta_n的谱 直流分量​=基波 谱线间隔：不含直流：T1​含直流：T2​=带宽 幅度谱就是cn​或dn​的谱相位谱就是φn​或θn​的谱

f ( t ) = a 0 + ∑ n = 1 [ a n cos ⁡ ( n ω 1 t ) + b n sin ⁡ ( n ω 1 t ) ]   直 流 分 量 ： a 0 = 1 T 1 ∫ t 0 t 0 + T 1 f ( t ) d t   余 弦 分 量 幅 度 ： a n = 2 T 1 ∫ t 0 t 0 + T 1 f ( t ) cos ⁡ ( n ω 1 t ) d t   正 弦 分 量 幅 度 ： b n = 2 T 1 ∫ t 0 t 0 + T 1 f ( t ) sin ⁡ ( n ω 1 t ) d t   n = 1 , 2 , 3 , ⋯   满 足 D i r i c h l e t 条 件 f(t)=a_0+\sum_{n=1}[a_n\cos(n\omega_1t)+b_n\sin(n\omega_1t)]\\\ \\ 直流分量：a_0=\frac 1 {T_1}\int_{t_0}^{t_0+T_1}f(t)dt\\\ \\ 余弦分量幅度：a_n=\frac 2 {T_1}\int_{t_0}^{t_0+T_1}f(t)\cos(n\omega_1t)dt\\\ \\ 正弦分量幅度：b_n=\frac 2 {T_1}\int_{t_0}^{t_0+T_1}f(t)\sin(n\omega_1t)dt\\\ \\ n=1,2,3,\cdots\\\ \\ 满足Dirichlet条件 f(t)=a0​+n=1∑​[an​cos(nω1​t)+bn​sin(nω1​t)] 直流分量：a0​=T1​1​∫t0​t0​+T1​​f(t)dt 余弦分量幅度：an​=T1​2​∫t0​t0​+T1​​f(t)cos(nω1​t)dt 正弦分量幅度：bn​=T1​2​∫t0​t0​+T1​​f(t)sin(nω1​t)dt n=1,2,3,⋯ 满足Dirichlet条件

余 弦 形 式 ： f ( t ) = c 0 + ∑ n = 1 ∞ c n cos ⁡ ( n ω 1 t + φ n )   正 弦 形 式 ： f ( t ) = d 0 + ∑ n = 1 ∞ d n sin ⁡ ( n ω 1 t + θ n )   a 0 = c 0 = d 0 c n = d n = a n 2 + b n 2 a n = c n cos ⁡ φ n = d n sin ⁡ θ n b n = − c n sin ⁡ φ n = d n cos ⁡ θ n   tan ⁡ θ n = a n b n   tan ⁡ φ n = − b n a n n = 1 , 2 , ⋯ 余弦形式：\\ f(t)=c_0+\sum_{n=1}^\infty c_n\cos(n\omega_1t+\varphi_n)\\\ \\ 正弦形式：\\ f(t)=d_0+\sum_{n=1}^\infty d_n\sin(n\omega_1t+\theta_n)\\\ \\ a_0=c_0=d_0\\ c_n=d_n=\sqrt{a_n^2+b_n^2}\\ a_n=c_n\cos\varphi_n=d_n\sin\theta_n\\ b_n=-c_n\sin\varphi_n=d_n\cos\theta_n\\\ \\ \tan\theta_n=\frac{a_n}{b_n}\\\ \\ \tan\varphi_n=-\frac{b_n}{a_n}\\ n=1,2,\cdots 余弦形式：f(t)=c0​+n=1∑∞​cn​cos(nω1​t+φn​) 正弦形式：f(t)=d0​+n=1∑∞​dn​sin(nω1​t+θn​) a0​=c0​=d0​cn​=dn​=an2​+bn2​ ​an​=cn​cosφn​=dn​sinθn​bn​=−cn​sinφn​=dn​cosθn​ tanθn​=bn​an​​ tanφn​=−an​bn​​n=1,2,⋯

指 数 形 式 ：   f ( t ) = ∑ n = − ∞ ∞ F ( n ω 1 ) e j n ω 1 t   F ( n ω 1 ) = 1 T 1 ∫ t 0 t 0 + T 1 f ( t ) e − j n ω 1 t d t   F ( n ω 1 ) = { 1 2 ( a n − j b n ) , n > 0 1 2 ( a n + j b n ) , n < 0   F 0 = a 0 = c 0 = d 0 ∣ F n ∣ = ∣ F − n ∣ = 1 2 c n = 1 2 d n = 1 2 a n 2 + b n 2   a n = F n + F − n   b n = j ( F n − F − n )   a n 2 + b n 2 = 4 F n F − n n = 1 , 2 , ⋯ 指数形式：\\\ \\ f(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}F(n\omega_1)e^{jn\omega_1t}\\\ \\ F(n\omega_1)=\frac 1 {T_1}\int_{t_0}^{t_0+T_1}f(t)e^{-jn\omega_1t}dt\\\ \\ F(n\omega_1)= \begin{cases} \frac 1 2(a_n-jb_n), & n>0 \\ \frac 1 2(a_n+jb_n), & n