如何用Bode图判断系统的稳定性？

众所周知，基于波特图的“工程性”稳定性判据是：

@电气小混混 在他的答案中提到这条判据是有前提条件的，仅适用于最小相位系统。

这样的说法，我只能同意一半。

更为严谨的描述应为：增益裕量GM>0，相位裕量PM>0 的稳定性判据，仅能适用于典型的系统的稳定性判断。

即，前提条件与是不是最小相位系统无关，而取决于系统是否“典型”。 后文将以具体的传递函数为例，一一说明有哪些“非典型”的系统，让增益裕量和相位裕量的使用出现严重的局限，甚至直接失效。

想要从频域的角度准确判断系统的稳定性，建议从奈奎斯特图出发，而不是Bode图。

为了便于观察波特图的稳定裕量，以常见的：

系统为例，把三个系统的穿越频率ωc放在重合的位置，给出如下图示。

由图，三者的相位裕量PM≈45°相同，增益裕量GM则是绿色的2型系统大，红色0型和蓝色1型系统小。

典型形状的奈奎斯特图，对应到波特图时，稳定裕量GM/PM的物理意义是非常明确的，便于稳定裕量的定义，和稳定性判据的使用。

考察开环传递函数

G=s/(1+s)

奈奎斯特图的增益无论如何增大，奈奎斯特图也不会包围(-1，j0)，故有GM=+∞；奈奎斯特图与Re正轴交点是(1，j0)，故有PM=180°。

再看波特图，与奈奎斯特图相对应，我们找不到幅频曲线与0dB交点，也找不到相频曲线与-180°交点。只能认为，频率无穷大处幅频与0dB相交，此时可以推出PM=180°；而相频永远不与-180°相交，所以GM=+∞。

考察开环传递函数

G=1/(s*s*(s+1))

这种系统是2型系统中的“结构不稳定”系统：若其分子增益和分母中一阶子系统的时间常数可调，无论如何调参，其闭环以后均不能稳定。

由奈奎斯特图可知，Z=N+P=1+0=1，闭环系统不稳定，且可以看出相位裕量PM为负，GM的话只有=-∞才有可能让极坐标图穿越(-1，0)。

再看波特图，PM为负是明确的；同时相频在频率为0处与-180°相交，故GM=-∞。

当相频不与-180°明显相交，仅从波特图观察稳定裕量GM并不十分直观。

考察开环传递函数

G=2*(s+0.05)*(s+0.1)/(s*(s+1)*(s+0.5))

波特图的幅频曲线，多次穿越0dB，给相位裕量PM的认定造成困扰。

由奈奎斯特图可知，Z=N+P=0+0=0，闭环系统稳定，增益裕量GM=+∞。

系统在频率1，频率2，频率3处依次穿越0dB线，当曲线顺时针旋转到频率1的位置与(-1,j0)相交后，系统已经开始不稳定。因此，相位裕量PM由频率1处（最小的穿越频率）的相角决定。

然而，倘若奈奎斯特曲线如下，当曲线顺时针旋转到频率3的位置与(-1,j0)相交后，系统已经开始不稳定。因此，相位裕量PM由频率3处（最大的穿越频率）的相角决定。

幅频多次穿越0dB，相位裕量PM可能由最小或者最大穿越频率处决定，取决于奈奎斯特图的具体形状。

考察开环传递函数

G=15*(s+5)*(s+15)/((s*s+s+1)*(s+0.5)*(0.01*s+1))

放大奈奎斯特图(-1,j0)附近穿越的细节，以观察频率2和频率3：

该例波特图中，相位裕度PM=31°是易见的，但相频曲线，多次穿越-180°，给增益裕量GM的认定造成困扰。

由该例的奈奎斯特图可知，Z=N+P=-1+1+0=0，闭环系统稳定，且应该得到增益裕量GM=+∞。

然而，上例只是特例，更普遍的，多次穿越-180°，形似该形状的奈奎斯特曲线可称作"条件稳定"系统。如下，(-1,j0)可能位于如下箭头指向的四个区间(1左侧，1-2，2-3，3-4)。

若(-1,j0)在频率1左侧，则存在若干的不连续增益区间，使系统稳定。这样一来，增益裕量GM是无法定义的：不存在一个GM，使得系统增益超过它后就不稳定，因为一个更大的增益区间会使系统又重新稳定。

幅频多次穿越-180°，若是“条件稳定”系统，增益裕量GM无法定义，失去物理意义。