梯度为什么是函数变化最快的方向

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梯度为什么是函数变化最快的方向

2024-06-15 02:33| 来源: 网络整理| 查看: 265

（本文转自于知乎https://zhuanlan.zhihu.com/p/24913912）

导数

导数的几何意义可能很多人都比较熟悉: 当函数定义域和取值都在实数域中的时候，导数可以表示函数曲线上的切线斜率。除了切线的斜率，导数还表示函数在该点的变化率。

几何意义

直白的来说，导数代表了在自变量变化趋于无穷小的时候，函数值的变化与自变量变化的比值代表了导数，几何意义有该点的切线。物理意义有该时刻的（瞬时）变化率...

注意在一元函数中，只有一个自变量变动，也就是说只存在一个方向的变化率，这也就是为什么一元函数没有偏导数的原因。

偏导数

既然谈到偏导数，那就至少涉及到两个自变量，以两个自变量为例，z=f(x,y) . 从导数到偏导数，也就是从曲线来到了曲面. 曲线上的一点，其切线只有一条。但是曲面的一点，切线有无数条。

而我们所说的偏导数就是指的是多元函数沿坐标轴的变化率.

$f_{x} (x,y)$ 指的是函数在y方向不变，函数值沿着x轴方向的变化率

$f_{y} (x,y)$ 指的是函数在x方向不变，函数值沿着y轴方向的变化率

图像如下

几何意义

偏导数 $f_{x} (x_{0},y_{0} )$ 就是曲面被平面 $y=y_{0}$ 所截得的曲面在点 $M_{0}$ 处的切线 $M_{0}T_{x}$ 对x轴的斜率偏导数 $f_{y} (x_{0},y_{0} )$ 就是曲面被平面 $x=x_{0}$ 所截得的曲面在点 $M_{0}$ 处的切线 $M_{0}T_{y}$ 对y轴的斜率

可能到这里，读者就已经发现偏导数的局限性了，原来我们学到的偏导数指的是多元函数沿坐标轴的变化率，但是我们往往很多时候要考虑多元函数沿任意方向的变化率，那么就引出了方向导数.

方向导数

终于引出我们的重头戏了，方向导数，下面我们慢慢来走进它

假设你站在山坡上，相知道山坡的坡度（倾斜度）

山坡图如下：

假设山坡表示为 $z=f(x,y)$ ,你应该已经会做主要俩个方向的斜率.

y方向的斜率可以对y偏微分得到.

同样的，x方向的斜率也可以对x偏微分得到

那么我们可以使用这俩个偏微分来求出任何方向的斜率（类似于一个平面的所有向量可以用俩个基向量来表示一样）

现在我们有这个需求，想求出 $u$ 方向的斜率怎么办.假设 $z=f(x,y)$ 为一个曲面， $p(x_{0} ,y_{0} )$ 为 $f$ 定义域中一个点，单位向量 $u =cos\theta i+sin\theta j$ 的斜率，其中 $\theta$ 是此向量与 $x$ 轴正向夹角.单位向量 $u$ 可以表示对任何方向导数的方向.如下图：

那么我们来考虑如何求出 $u$ 方向的斜率，可以类比于前面导数定义，得出如下：

设 $f(x,y)$ 为一个二元函数， $u =cos\theta i+sin\theta j$ 为一个单位向量，如果下列的极限值存在

$\lim_{t \rightarrow 0}{\frac{f(x_{0}+tcos\theta ,y_{0}+tsin\theta )-f(x_{0},y_{0})}{t} }$ 此方向导数记为 $D_{u}f$

则称这个极限值是 $f$ 沿着 $u$ 方向的方向导数，那么随着 $\theta$ 的不同，我们可以求出任意方向的方向导数.这也表明了方向导数的用处，是为了给我们考虑函数对任意方向的变化率.

在求方向导数的时候，除了用上面的定义法求之外，我们还可以用偏微分来简化我们的计算.

表达式是： $D_{u}f(x,y)=f_{x}(x,y)cos\theta +f_{y}(x,y)sin\theta$ （至于为什么成立，很多资料有，不是这里讨论的重点）

那么一个平面上无数个方向，函数沿哪个方向变化率最大呢？

目前我不管梯度的事，我先把表达式写出来：

$D_{u}f(x,y)=f_{x}(x,y)cos\theta +f_{y}(x,y)sin\theta$

设 $A=(f_{x}(x,y) ,f_{y}(x,y))$ , $I=(cos\theta ,sin\theta )$

那么我们可以得到：

$D_{u}f(x,y)=A\bullet I=\left| A \right| *\left| I \right| cos\alpha$ ( $\alpha$ 为向量 $A$ 与向量 $I$ 之间的夹角)

那么此时如果 $D_{u}f(x,y)$ 要取得最大值，也就是当 $\alpha$ 为0度的时候，也就是向量 $I$ （这个方向是一直在变，在寻找一个函数变化最快的方向）与向量 $A$ （这个方向当点固定下来的时候，它就是固定的）平行的时候，方向导数最大.方向导数最大，也就是单位步伐，函数值朝这个反向变化最快.

好了，现在我们已经找到函数值下降最快的方向了，这个方向就是和 $A$ 向量相同的方向.那么此时我把A向量命名为梯度（当一个点确定后，梯度方向是确定的），也就是说明了为什么梯度方向是函数变化率最大的方向了！！！（因为本来就是把这个函数变化最大的方向命名为梯度）

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