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(本文转自于知乎https://zhuanlan.zhihu.com/p/24913912) 导数 导数的几何意义可能很多人都比较熟悉: 当函数定义域和取值都在实数域中的时候,导数可以表示函数曲线上的切线斜率。 除了切线的斜率,导数还表示函数在该点的变化率。 几何意义 直白的来说,导数代表了在自变量变化趋于无穷小的时候,函数值的变化与自变量变化的比值代表了导数,几何意义有该点的切线。物理意义有该时刻的(瞬时)变化率... 注意在一元函数中,只有一个自变量变动,也就是说只存在一个方向的变化率,这也就是为什么一元函数没有偏导数的原因。 偏导数 既然谈到偏导数,那就至少涉及到两个自变量,以两个自变量为例,z=f(x,y) . 从导数到偏导数,也就是从曲线来到了曲面. 曲线上的一点,其切线只有一条。但是曲面的一点,切线有无数条。 而我们所说的偏导数就是指的是多元函数沿坐标轴的变化率.
图像如下 几何意义 偏导数可能到这里,读者就已经发现偏导数的局限性了,原来我们学到的偏导数指的是多元函数沿坐标轴的变化率,但是我们往往很多时候要考虑多元函数沿任意方向的变化率,那么就引出了方向导数. 方向导数 终于引出我们的重头戏了,方向导数,下面我们慢慢来走进它 假设你站在山坡上,相知道山坡的坡度(倾斜度) 山坡图如下: 假设山坡表示为 y方向的斜率可以对y偏微分得到. 同样的,x方向的斜率也可以对x偏微分得到 那么我们可以使用这俩个偏微分来求出任何方向的斜率(类似于一个平面的所有向量可以用俩个基向量来表示一样) 现在我们有这个需求,想求出 那么我们来考虑如何求出 设
则称这个极限值是
在求方向导数的时候,除了用上面的定义法求之外,我们还可以用偏微分来简化我们的计算. 表达式是: 那么一个平面上无数个方向,函数沿哪个方向变化率最大呢? 目前我不管梯度的事,我先把表达式写出来: 设 那么我们可以得到:
那么此时如果 好了,现在我们已经找到函数值下降最快的方向了,这个方向就是和 |
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