微分算子法求解二阶常系数线性非齐次方程特解

f ( x ) = e k x f(x)=e^{kx} f(x)=ekx

将式子中的D换为k值代入，一般会出现两种情况

y ′ ′ − 4 y ′ + 3 y = 2 e 2 x 将 D = 2 代入 y ∗ = 1 D 2 − 4 D + 3 2 e 2 x y ∗ = − 2 e 2 x \large y''-4y'+3y=2e^{2x} \\ \\ \quad 将D=2代入 \\ \large y*=\frac{1}{D^2-4D+3}2e^{2x} \\ \large y* = -2e^{2x} y′′−4y′+3y=2e2x将D=2代入y∗=D2−4D+31​2e2xy∗=−2e2x

提x对分母求导 y ′ ′ + 4 y ′ + 4 y = 2 e − 2 x 将 D = − 2 代入 , 代入发现分母为空 , 则提取 x 对分母求导 y ∗ = 1 D 2 + 4 D + 4 e − 2 x 发现代入还是 0 , 则继续上面的操作 , 直到分母变为常数 y ∗ = x 1 2 D + 4 e − 2 x y ∗ = x 2 2 e − 2 x \large y''+4y'+4y=2e^{-2x} \\ \quad 将D=-2代入,代入发现分母为空,则提取x对分母求导 \\ \large y* = \frac{1}{D^2+4D+4}e^{-2x} \\ \quad 发现代入还是0,则继续上面的操作,直到分母变为常数 \\ \\ \large y* = x\frac{1}{2D+4}e^{-2x} \\ \large y* = \frac{x^2}{2}e^{-2x} y′′+4y′+4y=2e−2x将D=−2代入,代入发现分母为空,则提取x对分母求导y∗=D2+4D+41​e−2x发现代入还是0,则继续上面的操作,直到分母变为常数y∗=x2D+41​e−2xy∗=2x2​e−2x

f ( x ) = sin ⁡ a x / cos ⁡ a x f(x)=\sin ax/\cos ax f(x)=sinax/cosax

将 D 2 D^2 D2换为( − a 2 -a^2 −a2)

题1 y ′ ′ − y = sin ⁡ x y ∗ = 1 D 2 − 1 sin ⁡ x 将 D 2 = − 1 代入 y ∗ = − 1 2 sin ⁡ x \large y''-y=\sin x \\ \large y* = \frac{1}{D^2-1}\sin x \quad 将D^2=-1代入 \\ \large y* = -\frac{1}{2} \sin x y′′−y=sinxy∗=D2−11​sinx将D2=−1代入y∗=−21​sinx 题2 y ′ ′ + 4 y = cos ⁡ 2 x y ∗ = 1 D 2 + 4 cos ⁡ 2 x 代入发现为 0 , 则提取 x 求导 y ∗ = x 1 2 D cos ⁡ 2 x 提取常数 , 出现 1 D 对 cos ⁡ 2 x 进行积分 y ∗ = x 4 sin ⁡ 2 x \large y''+4y=\cos2x \\ \large y*=\frac{1}{D^2+4}\cos 2x \quad 代入发现为0,则提取x求导 \\ \large y*=x\frac{1}{2D}\cos2x \quad 提取常数,出现\frac{1}{D}对\cos2x进行积分 \\ \large y*=\frac{x}{4}\sin2x y′′+4y=cos2xy∗=D2+41​cos2x代入发现为0,则提取x求导y∗=x2D1​cos2x提取常数,出现D1​对cos2x进行积分y∗=4x​sin2x 题3

y ′ ′ − 6 y ′ + 9 y = cos ⁡ x y ∗ = 1 D 2 − 6 D + 9 cos ⁡ x 先将符合条件的部分进行替换 y ∗ = 1 8 − 6 D cos ⁡ x 对于下面要凑出 D 2 , 可以使用平方差公式 y ∗ = 8 − 6 D 64 − 36 D 2 cos ⁡ x 代入 D 2 = − 1 y ∗ = 1 100 ( 8 + 6 D ) cos ⁡ x D cos ⁡ x = − sin ⁡ x y ∗ = 1 100 ( 8 cos ⁡ x − 6 sin ⁡ x ) \large y''-6y'+9y=\cos x \\ \large y* = \frac{1}{D^2-6D+9}\cos x \quad 先将符合条件的部分进行替换 \\ \large y* =\frac{1}{8-6D} \cos x \quad 对于下面要凑出D^2,可以使用平方差公式 \\ \large y* = \frac{8-6D}{64-36D^2} \cos x \quad 代入D^2= -1 \\ \large y * = \frac{1}{100}(8+6D)\cos x \quad D\cos x = -\sin x \\ \large y * = \frac{1}{100}(8\cos x - 6\sin x) y′′−6y′+9y=cosxy∗=D2−6D+91​cosx先将符合条件的部分进行替换y∗=8−6D1​cosx对于下面要凑出D2,可以使用平方差公式y∗=64−36D28−6D​cosx代入D2=−1y∗=1001​(8+6D)cosxDcosx=−sinxy∗=1001​(8cosx−6sinx)

f ( x ) = P n ( x ) f(x) = P_{n}(x) f(x)=Pn​(x)

将微分算子的分式化为等比数列求和公式的形式 a 1 − q \displaystyle \frac{a}{1-q} 1−qa​ 首相a公比q，之后展开到将里 P n ( x ) P_{n}(x) Pn​(x)面的未知数消除的项数

题1 y ′ ′ + y = − 2 x y ∗ = 1 D 2 + 1 ( − 2 x ) 转换为等比求和型式 y ∗ = 1 1 − ( − D 2 ) ( − 2 x ) 此时首相为 a = 1 , q = − D 2 y ∗ = ( 1 − D 2 ) ( − 2 x ) 展开项到求导参数消失 y ∗ = − 2 x \large y''+y=-2x \\ \large y* = \frac{1}{D^2+1}(-2x) \quad 转换为等比求和型式 \\ \large y*=\frac{1}{1-(-D^2)}(-2x) \quad 此时首相为a = 1,q = -D^2 \\ \large y* = (1-D^2)(-2x) \quad 展开项到求导参数消失 \\ \large y* = -2x y′′+y=−2xy∗=D2+11​(−2x)转换为等比求和型式y∗=1−(−D2)1​(−2x)此时首相为a=1,q=−D2y∗=(1−D2)(−2x)展开项到求导参数消失y∗=−2x 题2 y ′ ′ + y ′ = x 2 y ∗ = 1 D 2 + D x 2 y ∗ = 1 D 1 1 − ( − D ) x 2 首相 a = 1 , 公比 q = − D y ∗ = 1 D ( 1 − D + D 2 ) x 2 y ∗ = 1 D ( x 2 − 2 x + 2 ) y ∗ = 1 3 x 3 − x 2 + 2 x \large y''+y' = x^2 \\ \large y* = \frac{1}{D^2+D}x^2 \\ \large y* = \frac{1}{D}\frac{1}{1-(-D)}x^2 \quad 首相a = 1,公比q = -D \\ \large y* = \frac{1}{D}(1-D+D^2)x^2 \\ \large y* = \frac{1}{D}(x^2-2x+2) \\ \large y * =\frac{1}{3}x^3-x^2+2x y′′+y′=x2y∗=D2+D1​x2y∗=D1​1−(−D)1​x2首相a=1,公比q=−Dy∗=D1​(1−D+D2)x2y∗=D1​(x2−2x+2)y∗=31​x3−x2+2x

题3 y ′ ′ + 3 y ′ + 2 y = x 2 + 1 y ∗ = 1 D 2 + 3 D + 2 ( x 2 + 1 ) y ∗ = ( 1 2 1 − 1 2 ( − D 2 − 3 D ) ) y ∗ = ( 1 2 − 1 4 ( D 2 + 3 D ) + 1 8 ( D 2 + 3 D ) 2 ) ( x 2 + 1 ) y ∗ = x 2 2 − 3 x 2 + 9 4 \large y''+3y'+2y = x^2+1 \\ \large y* = \frac{1}{D^2+3D+2}(x^2+1) \\ \large y * = (\frac{\frac{1}{2} }{1-\frac{1}{2} (-D^2-3D)} ) \\ \large y* = (\frac{1}{2} -\frac{1}{4}(D^2+3D) +\frac{1}{8}(D^2+3D)^2 )(x^2+1) \\ \large y* = \frac{x^2}{2}-\frac{3x}{2}+\frac{9}{4} y′′+3y′+2y=x2+1y∗=D2+3D+21​(x2+1)y∗=(1−21​(−D2−3D)21​​)y∗=(21​−41​(D2+3D)+81​(D2+3D)2)(x2+1)y∗=2x2​−23x​+49​

f ( x ) = e k x y ( x ) f(x)=e^{kx}y(x) f(x)=ekxy(x)

先把 e k x e^{kx} ekx移到左边同时将D=D+k代入

题1 y ′ ′ − 3 y ′ + 2 y = e − x cos ⁡ x + 2 x e x y ∗ = 1 D 2 − 3 D + 2 ( e − x cos ⁡ x + 2 x e x ) y ∗ = e − x 1 ( D − 1 ) 2 − 3 ( D − 1 ) + 2 cos ⁡ x + e x 1 ( D + 1 ) 2 − 3 ( D + 1 ) + 2 2 x y ∗ = e − x 10 ( cos ⁡ x − sin ⁡ x ) − e x ( x 2 + 2 x ) \large y''-3y'+2y=e^{-x}\cos x+2xe^{x} \\ \large y* = \frac{1}{D^2-3D+2} (e^{-x}\cos x+2xe^{x}) \\ \large y* =e^{-x}\frac{1}{(D-1)^2-3(D-1)+2}\cos x + e^{x}\frac{1}{(D+1)^2-3(D+1)+2}2x \\ \large y* = \frac{e^{-x}}{10}(\cos x-\sin x)-e^x(x^2+2x) y′′−3y′+2y=e−xcosx+2xexy∗=D2−3D+21​(e−xcosx+2xex)y∗=e−x(D−1)2−3(D−1)+21​cosx+ex(D+1)2−3(D+1)+21​2xy∗=10e−x​(cosx−sinx)−ex(x2+2x)