n 阶贝塞尔曲线计算公式

  Bézier curve(贝塞尔曲线)是应用于二维图形应用程序的数学曲线。 曲线定义：起始点、终止点（也称锚点）、控制点。通过调整控制点，贝塞尔曲线的形状会发生变化。 1962年，法国数学家Pierre Bézier第一个研究了这种矢量绘制曲线的方法，并给出了详细的计算公式，因此按照这样的公式绘制出来的曲线就用他的姓氏来命名，称为贝塞尔曲线。   看了这段话，相信你还是不大明白贝塞尔曲线到底是怎么样的，这里放上贝塞尔曲线扫盲贴，有需要的自行阅读！这里有个贝塞尔游戏，有兴趣的可以体验一下！

  这里我们放上去常见的贝塞尔曲线效果演示图：

以下公式中： B(t)为t时间下 点的坐标 P0为起点,Pn为终点,Pi为控制点

一阶贝塞尔曲线通用公式： B ( t ) = ( 1 − t ) P 0 + t P 1 ， t ∈ [ 0 , 1 ] \begin{aligned} B(t)=(1-t)P_0+tP_1， t∈[0,1] \end{aligned} B(t)=(1−t)P0​+tP1​，t∈[0,1]​

意义：由 P0 至 P1 的连续点， 描述的一条线段

原理： 由 P0 至 P1 的连续点 Q0，描述一条线段。 由 P1 至 P2 的连续点 Q1，描述一条线段。 由 Q0 至 Q1 的连续点 B(t)，描述一条二次贝塞尔曲线。 经验：P1-P0为曲线在P0处的切线

三阶贝塞尔曲线通用公式： B ( t ) = ( 1 − t ) 3 P 0 + 3 t ( 1 − t ) 2 P 1 + 3 t 2 ( 1 − t ) P 2 + t 3 P 3 ， t ∈ [ 0 , 1 ] \begin{aligned} B(t)=(1-t)^3P_0+3t(1-t)^2P_1+3t^2(1-t)P_2+t^3P_3， t∈[0,1] \end{aligned} B(t)=(1−t)3P0​+3t(1−t)2P1​+3t2(1−t)P2​+t3P3​，t∈[0,1]​

  我们查阅资料给出的一般公式是这样的： B ( t ) = ∑ i = 0 n ( n i ) P i ( 1 − t ) n − i t i = ( n 0 ) P 0 ( 1 − t ) n t 0 + ( n 1 ) P 1 ( 1 − t ) n − 1 t 1 + . . . + ( n n − 1 ) P n − 1 ( 1 − t ) 1 t n − 1 + ( n n ) P n ( 1 − t ) 0 t n ， t ∈ [ 0 , 1 ] \begin{aligned} B(t)=\sum_{i=0}^n \begin{pmatrix} n\\i \end{pmatrix} P_i(1-t)^{n-i}t^i= \begin{pmatrix} n\\0 \end{pmatrix} P_0(1-t)^nt^0+ \begin{pmatrix} n\\1 \end{pmatrix} P_1(1-t)^{n-1}t^1+...+ \begin{pmatrix} n\\n-1 \end{pmatrix} P_{n-1}(1-t)^1t^{n-1}+ \begin{pmatrix} n\\n \end{pmatrix} P_n(1-t)^0t^n， t\in[0,1] \end{aligned} B(t)=i=0∑n​(ni​)Pi​(1−t)n−iti=(n0​)P0​(1−t)nt0+(n1​)P1​(1−t)n−1t1+...+(nn−1​)Pn−1​(1−t)1tn−1+(nn​)Pn​(1−t)0tn，t∈[0,1]​

观察上面公式，可以查看出，其公式是由一个格式固定的表达式之和来表示，这个表达式就是关键： ( n i ) P i ( 1 − t ) n − i t i ， t ∈ [ 0 , 1 ] \begin{aligned} \begin{pmatrix} n\\i \end{pmatrix} P_i(1-t)^{n-i}t^i， t\in[0,1] \end{aligned} (ni​)Pi​(1−t)n−iti，t∈[0,1]​

该表达式可分为四个部分看：

可以看出这四部分都与 i 的值相关，此外 t 值的计算方式为：i/(n+1)

  如果直接从上面的公式上找规律比较抽象，那就从具体的例子中找规律吧。   设 Bt 为要计算的贝塞尔曲线上的坐标，N 为控制点个数，P0,P1,P2…Pn 为贝塞尔曲线控制点的坐标，当 N 值不同时有如下计算公式:

如 N 为 3 表示贝塞尔曲线的控制点有 3 个点，这时 n 为 2 ，这三个点分别用 P0,P1,P2 表示。

  将贝塞尔曲线一般参数公式中的表达式用如下方式表示，设有常数 a,b 和 c，则该表达式可统一表示为如下形式： a ( 1 − t ) b t c P n , t ∈ [ 0 , 1 ] a(1 - t)^bt^cP_n, t\in[0,1] a(1−t)btcPn​,t∈[0,1]

  分析当 N 分别为3,4,5 时对应 a,b,c 的值: 如 N = 3 时，公式有三个表达式，第一个表达式为 ( 1 − t ) 2 P 0 (1-t)^2P_0 (1−t)2P0​，其对应 a,b,c 值分别为：1,2,0

  根据上面的分析就可以总结出 a,b,c 对应的取值规则：

  好了，到这里我们基本上已经知道思路了，下面我们使用Ts写一下：

这里使用的是： Vscode Cocos Creator