使用Excel计算曲线下面积

我在【附录1】文中提到了使用Excel进行曲线下面积的计算，其实，也就是高等数学中的定积分计算，但当时考虑不冲淡主题，对其中的积分计算一笔带过，本文只是对此专题做一个补充，对于微积分的某些概念在此不再赘述。

定积分的几何意义就是求曲线下面积，在Excel中可以：

①     使用Excel的图表将离散点用XY散点图绘出；

②     使用Excel的趋势线将离散点所在的近似拟合曲线绘出；

③     利用Excel的趋势线将近似拟合曲线公式推出；

④     使用微积分中的不定积分求出原函数（这一步Excel无法替代）；

⑤     使用Excel的表格和公式计算定积分值。

例1：由表1一组数据，绘得图1.求图1曲线下面积（紫色部分）：

表1

图1

其实，此例的关键就是求出曲线的公式，为此，就要将表1数据绘成散点图，并据此绘出趋势线、求得趋势线方程，从而可以使用定积分求解。

【步骤 1】：选择表1数据单元, 进入【图表向导-4 步骤之 1-图表类型】对话框,选择“X Y散点图”,在“下一步”取消图例，完成后得到XY散点图，如图2。

图2

【步骤 2】：选择散点图中数据点，右键选择“添加趋势线”，如图3：

图3

【步骤 3】：在【添加趋势线】对话框中，切换到“类型”选项卡，在“趋势预测/回归分析类型”中，可以根据题意及定积分计算方便，选择“多项式”，“阶数”可调节为2（视曲线与点拟合程度调节），如图4：

图4

对于了解趋势预测和回归分析曲线类型的特征，如何更好选择以便更好拟合数据点，可参见【附录2】。

【步骤 4】：切换到“选项”选项卡，选中“显示公式”复选框，“设置截距=0”视情况也可选中，如图5。显示R平方值，也可以选中，以便观察曲线拟合程度，R平方越接近于1，拟合程度越高，本例R平方的值为1，即完全拟合，是最佳趋势线。确定后，如图6，其中的公式，就是通过回归求得的拟合曲线的方程。

图5

图6

【步骤 5】：用不定积分求曲线方程的原函数(x)：

【步骤 6】：利用Excel表格和公式的拖曳，求原函数值：如在下面表2中，选中单元格C2，在上方编辑栏中键入等号插入公式“=0.33*A2^3+0.005*A2^2”，回车确定后，用鼠标放置到C2的右下角，出现“+”时，从C2拖到C12，求得原函数值，即求得F(0)、F(0.1)、F(0.2)、……、F(1.0) 。【注意：单元格C1中的公式只是C列的标题，具体的计算必须引用单元格。】

表2

【步骤 7】：求[0,1]区间曲线下面积，从表2中可知

＝F(1)-F(0)

＝0.335

例2:由表1数据绘成的图表中,求如图7这样在[0.6,0.9]区间的曲边梯形面积：

图7

【解答】由例1解答可知曲线方程为：

Y = 0.99X^2 + 0.01X

其原函数为：

F(X)=0.33X^3+0.005X^2

使用表2计算结果可知，在[0.6,0.9]区间的曲边梯形面积为：

F(0.9)-F(0.6)

＝0.17154 

【附录1】

《用Excel表达贫富不均――洛仑兹曲线的绘制及基尼系数的定积分计算》：

http://shuchonghui.blog.163.com/blog/static/151156320095272211692/  和

http://blog.stnn.cc/StBlogPageMain/Efp_BlogLogKan.aspx?cBlogLog=1002457003

【附录2】Excel趋势线类型：

线性：线性趋势线是适用于简单线性数据集合的最佳拟合直线。如果数据点的构成的趋势接近于一条直线，则数据应该接近于线性。线性趋势线通常表示事件以恒定的比率增加或减少。

对数：如果数据一开始的增加或减小的速度很快，但又迅速趋于平稳，那么对数趋势线则是最佳的拟合曲线。

多项式:多项式趋势线是数据波动较大时使用的曲线。多项式的阶数是有数据波动的次数或曲线中的拐点的个数确定，方便的判定方式也可以从曲线的波峰或波谷确定。二阶多项式就是抛物线，二阶多项式趋势线通常只有一个波峰或波谷；三阶多项式趋势线通常有一个或两个波峰或波谷；四阶多项式趋势线通常多达3个。当然多项式形式的不定积分公式比较简单，求此类曲线下面积比较容易。

乘幂：乘幂趋势线是一种适用于以特定速度增加的数据集合的曲线。但是如果数据中有零或负数，则无法创建乘幂趋势线。

指数：指数趋势线适用于速度增加越来越快的数据集合。同样，如果数据中有零或负数，则无法创建乘幂趋势线。

移动平均：移动平均趋势线用于平滑处理数据中的微小波动，从而更加清晰地显示了数据的变化的趋势（在股票、基金、汇率等技术分析中常用） 。