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回顾复数
复数的基本运算
回顾复数
将下列数字写成复数形式: -21 7i 简单复习一下,复数是包含实数部分和虚数部分的数。 如果有a+bi,a是实数,b是实数,这是复数。a是实部,bi是虚数部分(注:虚部不包括i)。 为什么bi是虚部?因为bi带有特殊系数i,这个虚数单位,这个特殊的数i,在这里乘以了b。我相信大家都会觉得怪诞,不过根据定义: 在此之前,不存在对某个数取平方后得到-1,现在取i的平方,得到-1,关于虚数(单位)的特别的知识点是它的平方是负数。复数有用之处在于它使我们有能力解决很多方程,这些方程在只允许实数解的情况下无解。复数在很多方面都有用,特别是在工程领域,还有其他领域,比如物理等等。现在,我们不会花很多心思讨论复数定义,在大家处理更多数字后,特别是接触到某些工程应用后,希望大家明白虚数的价值。 回到问题中来,把上面的数字写成复数形式。 -21 怎么把它写成复数呢?把它写成实部和虚部的组合。可以写成: -21 = -21+0i 0i等于0,所以它仍等于-21,实际上这里没有虚部,-21本身就是复数形式,很简单。同样的: 7i = 0 + 7i 7i是虚数形式的,所以这里没有实部,实部是0,虚部是7i,所以等于0 + 7i。 复数的基本运算很多时候解方程都会碰到根号下负数的情况,比如根号下-1或者-9: 由于如何实数的平方不是0就是正数,所以以上两个数这些没有定义,为了定义这些数,人们引入i的概念,i是虚数单位,i的定义是: 这就是解决了根号下负数的问题,这样一来,根号下-9是多少呢?它等于i乘以根号9,即3i, 为什么,想想3i平方是多少? 这是指数性质。所以 3i是所谓的虚数,它其实也不比其他数“虚”,某种意义上,负数真的存在吗?只不过是将负号放在前面表示抽象含义,负号只是表示它和大小的关系。任何数乘以虚数单位i都是虚数。解二次方程时,你会发现结果有时会实数和虚数并存(有实数部分和虚数部分),举个例子: 5 + 2i 这不能化简了,因为实数和虚数不能相加,大家可以把这当作不同维度,一个数有实部5,还有虚部2i,这叫做复数。复数可以在平面中表示: 虚数也就是虚轴,在纵轴2i,上图表示为2个单位。 实数也就是实轴,在实轴5,上图表示为5个单位。 所以这个图形表示为:5+2i。在以后讲复数应用时,我还会举更多例子,现在只需要知道定义即可。看看有什么运算,两复数相加怎么做: a是实部,bi是虚部,另一个复数是: 通常像方程的未知数,这样的一般性实数,人们喜欢用x,而复数的惯例是用z表示。比如:
复数相加只需要分别把实部和虚部相加即可,这等于:
那么两个复数相减呢?如下: 这就是新的复数。 那么两个复数相乘呢?如下: 教科书的方法称为FOIL,大概是八九年级的方法,我不怎么喜欢它,我喜欢将这看成是两次使用分配率,这里,可以将(c+di)分配到(a+bi)中的a和bi这2项中。我们得到: 分解得: 化简得: 实数很简单,下一次我们会谈到实数。这里的关键是使用分配率,然后实部相加,实数和虚数不可相加,然后虚部相加,记住,两个虚数相乘时,i和i相乘会得到-1。 那么两个复数相除呢? 我们要用到一个性质,但愿大家学过: 如果这两个复数相乘: 那么 例子用的是 两者互为共轭。 我们将得到什么? 这是结果,代数运算的话,只能实部和实部相加,虚部和虚部相加,化简,先看实部:
这看起来也许不像复数,将实部和虚部分开就像了。 注意加减时,实部和虚部间不可以合并,顶多只能数乘虚数,这就是我们所做的。这里乘 乘以分母的共轭复数: 这是1,不会改变值,分母很容易求出: 然后写成一般形式: 复数除以复数,结果仍是复数。你们可以练习一下,随便找一下复数,在复平面画一下,看加减乘除时是什么情况,看数乘和取共轭时又是什么情况,这能让大家更好地理解复数。 ——请不断重复练习、练习、练习、再练习。。。 |
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