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一:矩阵乘法二:其它问题(1)矩阵为什么不可以交换?(2)矩阵为什么满足结合律?
一:矩阵乘法
前面所讲的几节内容中涉及的变换都是单一的变换,那么如果你想描述多种连续的变换呢,或者称为复合变换 比如下图,先将平面逆时针旋转90°,然后再进行剪切。这很明显是两个变换,但是从总体上看可以看作是一个复合变换,是旋转和剪切作用的总和
按照我们前文所讲,如果让一个向量 ( x y ) \begin{pmatrix} x\\ y\end{pmatrix} (xy)乘以矩阵就会对其施加该矩阵所表示的线性变换,那么如果按照变换两次的角度来看,应该就是先乘以一个旋转矩阵,所得结果再乘以一个剪切矩阵 ( 1 1 1 0 ) ( ( 0 − 1 1 0 ) ( x y ) ) \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & 0\end{pmatrix}(\begin{pmatrix} 0 & -1\\ 1 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\ y\end{pmatrix}) (1110)((01−10)(xy)) 如果从总体角度上看,那么上面矩阵的效果或者说结果,应该和复合变换所对应的矩阵是一致的 ( 1 − 1 1 0 ) ( x y ) \begin{pmatrix} 1 & -1\\ 1 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\ y\end{pmatrix} (11−10)(xy) 也即 ( 1 1 1 0 ) ( ( 0 − 1 1 0 ) ( x y ) ) = ( 1 − 1 1 0 ) ( x y ) \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & 0\end{pmatrix}(\begin{pmatrix} 0 & -1\\ 1 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\ y\end{pmatrix})=\begin{pmatrix} 1 & -1\\ 1 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\ y\end{pmatrix} (1110)((01−10)(xy))=(11−10)(xy)
其实,在实际计算中我们不用这么算,因为有一种普适性的方法可以计算出结果矩阵,也即 ( a b c d ) ( e f g h ) = ( a e + b g a f + b h c e + d g c f + d h ) \begin{pmatrix} a & b\\ c & d\end{pmatrix}\begin{pmatrix} e & f\\ g & h\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} ae+bg & af+bh\\ ce+dg& cf+dh\end{pmatrix} (acbd)(egfh)=(ae+bgce+dgaf+bhcf+dh) 其实大家也能看到,这不就是我们熟知的矩阵乘法吗,但是我们的教育中太过重视怎么算的问题,但是怎么算根本就不是矩阵的本质的问题,它只是一种所谓的“技巧”,一种可以帮助你快速得到复合变换结果的计算方法,所以大家一定要明白矩阵乘法的本质,而不应该迷失在数字的世界中 二:其它问题 (1)矩阵为什么不可以交换?我们都知道,矩阵是不满足交换律的,也即 A B ≠ B A AB\neq BA AB=BA,那么为什么呢?在课本练习中,通常会采用代数运算的方法,通过上面的计算公式加以计算然后计算出它们不相等,其实这是根本没有必要的,因为这不是本质问题,这只是一种表示方式,没有说到问题的本质上 如果拿上面的例子,我们先左的是旋转再做的是剪切,对应的就是
M
2
M
1
M_{2}M_{1}
M2M1,那么最终效果如下 大家可以发现最终效果完全不一致了,也就说这根本不是一个变换,自然也就不可交换 (2)矩阵为什么满足结合律?我们都知道,矩阵满足结合律,也即 ( A B ) C = A ( B C ) (AB)C=A(BC) (AB)C=A(BC),那么为什么呢? 这个其实就很明白了,因为在这种情况下无论你先计算AB然后再计算ABC,还是先计算BC然后再计算ABC,最终的变换效果是一致的,那么自然而然是满足结合律的。
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