立体角

在谈立体角之前，我们先来复习一下球坐标及其面积分。

如上图所示，就是一个典型的球坐标系统，在坐标系中的每一点都可以使用\((\rho,\phi,\theta)\)来描述，与笛卡尔坐标系之间的转化如下

\[ x=\rho\sin\phi\cos\theta\\ y=\rho\sin\phi\sin\theta\\ z=\cos\phi \]

上式就是球坐标和笛卡尔坐标之间的转化，这个转化很容从图上看出来。

从上图可以看出，面积的微元，长为\(\rho d\phi\)，因为这个方向上的长度为\(\rho\phi\)，所以微元为\(\rho d\phi\)；宽为\(\rho\sin\phi d\theta\)，这是因为首先要投影到\(xy\)平面，在这个平面上的长度为\(\rho \sin\phi\)，从图上可以看出，这个长度也就是宽，所以微元的宽为\(\rho \sin\phi d\phi\)。所以球面积分的微元面积\(\rho^2 \sin\phi d\phi d\theta​\)。

球的表面积计算

表面积的求法，就是对于微元而言，\(\phi\)的取值为\(0\)到\(2\pi\)，\(\theta\)的取值也是\(0\)到\(2\pi\)。\(\rho\)就是球的半径。 所以微元\(dS=\rho^2\sin\phi d\phi d\theta\)。表面积的求法如下： \[ S=\int_0^{2\pi}d\theta\int_0^{2\pi}\rho^2\sin\phi d\phi \] \(\rightarrow 2\pi\rho^2(-\cos\theta)|^{2\pi}_0=4\pi\rho^2​\)，这就是很熟悉的圆表面积计算公式了。\(S_圆=4\pi r^2​\)，这个公式应该在高中时候就经常使用了。

球帽表面积的计算

\[ S=\int_0^{2\pi}d\phi\int_0^{\theta}r^2\sin\theta d\theta \] ​ \(\rightarrow 2\pi r^2(-\cos\theta)|^{\theta}_0=2\pi r^2(1-\cos\theta)=2\pi r^2(1-\frac{r-h}{r})=2\pi rh​\)，如果\(h=r​\)，那么求的是半球的面积， 面积\(S=2\pi r^2​\)，跟之前的球表面积也对上了。

球面坐标复习到这儿，下面就进入正题了。 ## 立体角

在介绍立体角之前，也先做个铺垫，讲一下角度。

如上图所示，平面角，简称角度定义为圆的弧长与半径之间的比值，单位为弧度(\(rad\))。 \[ \theta=\frac{l}{r} \]

参考平面角的定义，立体角的定义为表面积与半径平方的比值，即

\[ \Omega=\frac{S}{r^2} \]

反映的是从该点出发，向球面区域张成的视野大小，是平面角的三维扩展。

接上面计算的表面积的例子。

需要注意的是，立体角计算也可以理解为是所形成表面在以原点为圆心的球的球面上的投影除以半径的平方。因为要计算的立体角表面不一定是球面的一部分，所以需要先投影到球面再进行计算。