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先以一个例题带大家了解五点差分法求解PDE 偏微分方程的解析解通常是非常难求的,即使是多数常微分方程,通常也难以计算解析解,即使可以计算,那也是相当复杂,因此,微分方程数值解的求解,是我们的一个重要的研究方向 求解微分方程数值解的核心,就是用差商来代替微商, 可以取一个比较小的值
二阶向前差商 二阶向后差商 二阶中心差商
差商有多种形式,我们选择中心差商 同理,y对x的二阶中心差商 由题目条件 可以确定边界取值,这是Dirchilet边界条件 下图是Dirchilet边界条件的直观解释,绿色点代表已知点。
由题目条件 可以确定 附近点的取值,这是Neumann边界条件 用差分可以近似表示成 下图是Neumann边界条件的直观解释,灰色点代表其他已知点,绿色点代表Neumann边界条件确定的点。 由题目条件 可以得出的近似关系 利用网格可视化
我们发现, 可以由左边的4个点近似计算,这就是五点差分法求解偏微分方程的思路,我们把视角放大到整体.
Step1:先看绿色的点1,根据1左侧个点的取值,由(*),可以推出点1的取值 Step2:再看绿色的点2,根据2左侧个点的取值,由(*),可以推出点2的取值,以此类推,可以得出每一列上下两点之外每个点的取值,第三列点的取值,用前两列的点就可以确定 由边界条件 ,我们可以发现,x=0和x=1的取值是确定的,
Step3: 重复这个过程,在 空间内的所有离散的近似解已经确定了 下面是本题的Matlab代码 注意,要单独编写一个M文件定义函数 flucfun.m %y_tt=y_xx,0 |
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