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常有人提及因变量和自变量取对数后的弹性/半弹性解释的问题,大部头书上的推导较为复杂。
以下是简易推导,适合快速理解和复习:
1. 自然对数的泰勒级数展开为
设1+x为y,代入上式,可以得到Ln(y)的一阶展开为y-1。 Ln(y2)-Ln(y1)=Ln(y2/y1) 按照泰勒一阶展开 近似等于y2/y1-1,即(y2-y1)/y2,也就是y的相对变化 2. 因变量和自变量不同情况下取对数的解释 被解释变量y取对数,解释变量x不取对数,参数β解释为: 控制其他变量的情况下,x变动1个单位,y平均变动100*β% 推导: Ln(y1)= βx 1式 Ln(y2)= β(x+1) 2式 2式-1式=> Ln(y2)-Ln(y1)=β =>Ln(y2/y1)= β 根据泰勒一阶展开约等于(y2-y1)/y1=β;也就是y平均变动β*100% 被解释变量y不取对数,解释变量x取对数,参数β解释为:控制其他变量的情况下,x变动1%,y平均变动0.01*β个单位 推导: y1=βLn(x) 1式 y2=βLn(x+Δx) 2式 2式-1式=> (y2-y1)=β[Ln(x+Δx)- Ln(x)] => (y2-y1)= βLn[(x+Δx)/x)] 根据泰勒一阶展开约等于(y2-y1)= β[(x+Δx)/x-1] =>(y2-y1)= β(Δx/x) 当Δx为%1*x时,(y2-y1)=0.01*β;也就是y平均变动0.01*β个单位 被解释变量y取对数,解释变量也x取对数,参数β解释为:控制其他变量的情况下,x变动1%,y平均变动β% 推导: Ln(y1)=βLn(x) 1式 Ln(y2)=βLn(x+Δx) 2式 2式-1式=>Ln(y1)-Ln(y2)=β[Ln(x+Δx)- Ln(x)] =>Ln(y1/y2)= βLn[(x+Δx)/x)] 根据泰勒一阶展开约等于(y1/y2-1)= β[(x+Δx)/x)-1] =>(y1-y2)/y2=β(Δx/x) 当Δx为%1*x时,(y1-y2)/y2=0.01*β,也就是y平均变动 0.01*β*100%个单位,即β% |
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