线性无关向量不一定正交

       如果 x 1 \pmb{x}_1 xxx1​， x 2 \pmb{x}_2 xxx2​， . . . \pmb{...} .........， x r ( r ≥ 1 ) \pmb{x}_r(r\ge1) xxxr​(r≥1)为线性空间 V V V中一组向量， k 1 {k}_1 k1​， k 2 {k}_2 k2​， . . . {...} ...， k r {k}_r kr​是数域 P P P中的数，那么向量 x = k 1 x 1 + k 2 x 2 + . . . + k r x r (1) \pmb{x}=k_1\pmb{x}_1+k_2\pmb{x}_2+\pmb{...}+k_r\pmb{x}_r \tag{1} xxx=k1​xxx1​+k2​xxx2​+.........+kr​xxxr​(1) 称为向量 x 1 \pmb{x}_1 xxx1​， x 2 \pmb{x}_2 xxx2​， . . . \pmb{...} .........， x r \pmb{x}_r xxxr​的一个线性组合，有时也可以说向量 x \pmb{x} xxx可用向量组 x 2 \pmb{x}_2 xxx2​， . . . \pmb{...} .........， x r \pmb{x}_r xxxr​线性表示。        如果式 ( 1 ) (1) (1)中的 k 1 {k}_1 k1​， k 2 {k}_2 k2​， . . . {...} ...， k r {k}_r kr​不全为零，且使 k 1 x 1 + k 2 x 2 + . . . + k r x r = 0 (2) k_1\pmb{x}_1+k_2\pmb{x}_2+\pmb{...}+k_r\pmb{x}_r = \pmb{0} \tag{2} k1​xxx1​+k2​xxx2​+.........+kr​xxxr​=000(2)则称向量组 x 1 \pmb{x}_1 xxx1​， x 2 \pmb{x}_2 xxx2​， . . . \pmb{...} .........， x r \pmb{x}_r xxxr​线性相关，否则就称其为线性无关。换句话说，如果等式 ( 2 ) (2) (2)只有在 k 1 = k 2 = . . . = k r = 0 k_1 = k_2 = \pmb{...} = k_r = 0 k1​=k2​=.........=kr​=0时才成立，则称 x 1 \pmb{x}_1 xxx1​， x 2 \pmb{x}_2 xxx2​， . . . \pmb{...} .........， x r \pmb{x}_r xxxr​线性无关。

        v 1 = ( − 1 ,    2 , − 1 ) , v 2 = (        0 ,    2 , − 1 ) \pmb{v}_1=(-1,\;2,-1), \pmb{v}_2=(\;\;\;0,\;2,-1) vvv1​=(−1,2,−1),vvv2​=(0,2,−1)向量 v 1 , v 2 \pmb{v}_1,\pmb{v}_2 vvv1​,vvv2​的线性组合为 v = k 1 v 1 + k 2 v 2 = k 1 ( − 1 , 2 , − 1 ) + k 2 ( 0 , 2 , − 1 ) \pmb{v}=k_1\pmb{v}_1+k_2\pmb{v}_2=k_1(-1,2,-1)+k_2(0,2,-1) vvv=k1​vvv1​+k2​vvv2​=k1​(−1,2,−1)+k2​(0,2,−1)当 v \pmb{v} vvv为 0 \pmb{0} 000时，可得到如下线性方程组 { − k 1 + 0        = 0    2 k 1 + 2 k 2 = 0 − k 1 −      k 2 = 0 \begin{cases} -k_1+0 \;\;\;=0 \\ \;2k_1+2k_2=0 \\ -k_1-\;\;k_2=0 \end{cases} ⎩⎪⎨⎪⎧​−k1​+0=02k1​+2k2​=0−k1​−k2​=0​ 只有当 k 1 , k 2 \pmb{k}_1,\pmb{k}_2 kkk1​,kkk2​同时为0时，才满足上述线性方程组，因此向量 v 1 , v 2 \pmb{v}_1,\pmb{v}_2 vvv1​,vvv2​线性无关，但向量 v 1 , v 2 \pmb{v}_1,\pmb{v}_2 vvv1​,vvv2​的内积 ( v 1 , v 2 ) = 0 + 4 + 1 = 5 ≠ 0 (\pmb{v}_1,\pmb{v}_2)=0+4+1=5\ne0 (vvv1​,vvv2​)=0+4+1=5​=0，因此并不正交。

线性无关向量组可使用施密特(Schmidt)正交化方法进行正交化。

方保镕，周继东，李医民. 矩阵论. 北京：清华大学出版社，2004.11(P8) ↩︎