三大抽样分布的定义、期望和方差:卡方分布、t分布、F分布 | 您所在的位置:网站首页 › 卡方分布定理 › 三大抽样分布的定义、期望和方差:卡方分布、t分布、F分布 |
一、卡方分布 1. 卡方分布的定义 设随机变量 ,则随机变量 ,且 的概率密度函数为:
证明:
积分区域 是一个球形区域,切换到球坐标下,可得: , 是一个与 无关的常数 根据归一化,
这就证明了卡方分布的概率密度函数。 2. 卡方分布的可加性 设独立的随机变量 ,则 证明:
这就证明了 符合自由度为 的卡方分布。这可以推广到多个随机变量的情况: 若相互独立的随机变量 ,则 3. 卡方分布的数字特征 设随机变量 ,则 的矩母函数为 证明:
由卡方分布的矩母函数,可得出 的 阶矩:
由此可得卡方分布得期望为 ,方差为 设随机变量 ,则 的期望为 证明:
,做变量替换
,此式当 时成立
同理,可以证明 ,当 时成立。 4. 卡方分布的分解 正态随机变量:设随机变量 ,则 证明: 由于 的概率密度函数为: 即随机变量 ,根据卡方分布的可加性可得 这就说明了自由度为 的卡方分布可以分解为 个独立的标准正态分布随机变量的平方和,这也是卡方分布的定义。 指数随机变量:设随机变量 ,则 证明: 由于 的概率密度函数为: 即随机变量 ,根据卡方分布的可加性可得 这就说明了 个独立的指数分布随机变量的和的 倍符合自由度为 的卡方分布。 5. 正态分布的样本方差 设随机变量 ,样本均值 ,样本方差 ,则有: ,且 与 独立。 证明: 可以找到一个 阶正交矩阵 , 中第一行的元素都是 ,对随机向量 进行正交变换: 随机向量 ,则有逆变换 ,此正交变换具有以下3个性质: 1. 向量的模不变,即: ; 2. 逆变换的雅可比行列式为 ,即: ; 3. ; 随机向量 的联合分布密度函数为:
从随机向量 的联合分布密度函数可以得出以下结论: 1. ; 2. ; 3. 相互独立; 下面对命题中的结论进行证明:
可以看到: 1. 是 的函数, 是 的函数,所以 与 相互独立; 2. 是 个标准正态随机变量的平方和,所以服从自由度为 的卡方分布; 二、t分布 1. t 分布的定义 设随机变量 , 相互独立,则随机变量 ,且 的概率密度函数为: ,其中 为 t 分布的自由度。 证明: 设 为标准正态分布的概率密度函数, 为卡方分布的概率密度函数,那么随机变量 的概率密度函数为:
由随机变量商的概率密度函数公式,可得随机变量 的概率密度函数为:
做变量替换 ,则有:
2. t 分布的数字特征 由于 t 分布的概率密度函数是关于原点对称的偶函数,那么它的期望为 0, 但仅限于自由度大于1的情况。 设随机变量 ,那么下面的绝对值积分为:
由于此积分发散,所以当 分布的自由度为 1 时期望不存在。 根据 t 分布的定义以及卡方分布的倒数的期望,可得 t 分布的方差就是它的二阶矩,有:
即自由度为 的 t 分布的方差为 ,仅当 时成立。 三、F 分布 1. F 分布的定义 设随机变量 ,相互独立,则随机变量 ,且 的概率密度函数为: ,其中 为 F 分布的自由度。 证明: 设 分别为自由度为 的 分布的概率密度函数,则随机变量 的概率密度函数分别为:
由随机变量商的概率密度函数公式,可得随机变量 的概率密度函数为:
做变量替换 ,则有:
2. F 分布的数字特征 根据 F 分布的定义以及卡方分布的倒数的期望,可以直接计算 F 分布的期望为:
此结果仅在分母的自由度 时成立,当 时,F 分布的期望不存在。(如何证明呢?) 根据 F 分布的定义以及卡方分布的倒数的平方的期望,可以得到 F 分布的二阶矩为:
那么 F 分布的方差为:
此结果仅在分母的自由度 时成立。 设 为自由度为 的 F 分布的 上分位点,则有:
证明: 根据 F 分布的定义,有:
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