前言：本专栏是一个系列教程。会将高数数分的思想方法大致都过一遍，算是进阶版的教程【√

这次的内容是数列极限中的证明与计算，理论上数列极限的引入要建立在实数公理系统之上，不过考虑到高数没有相关内容，这里就先挖个坑以后再填【lan√】，看本专栏前你需要将相关基础知识都看一遍，要求很低，只需要达到了解的程度即可。

数列极限——极限的证明问题

一、用定义证明数列极限

二、用柯西收敛准则证明极限

三、证明极限不存在以及否定形式的应用

四、利用单调有界证明极限存在

五、利用子列及归结原则

本专栏为一、二部分的内容。

一、用定义证明数列极限

I.极限定义的ε-N法

回顾数列极限的定义：

记为

由极限定义可以推得收敛数列an具有唯一性、有界性、保号性、迫敛性【夹逼准则】

用定义证明时，给定的是任意小的数，只有N是要求的，找到N=N(ε)即可，一般采取以下方法：

①解方程即可得证

②放大法（放缩）：当①中的方程不好解的时候可以采取该方法，将不等式左边放缩一个n的函数f(n)，只需要f(n)N1的部分即可用定义式放缩，因此上式

,记为式（#）

这里第一项分子是有限项，所以趋于0，这里再用一次极限的定义式子：

并代入（#）式子右边得

由极限定义，得证。

【事实上这个问题用stolz公式可以直接做出来，这个公式后续专栏会有专题，故这里暂时不提】

这里的证明就用到了分步法，假定n已经大于N1将式子拆成n小于N1的部分和n大于等于N1的部分，再进行放缩，用这种方法结合（定理1）也可以证明下面这个定理:

这个证明和之前的差不多，不再赘述了，请读者自己完成【不会再来私信⑧】

提示一下：

II.拟合法

再介绍一种不太常用的拟合法：在用定义证明| an-A |0,{zn}中落在U(A,ε)外的项至多有限，因此{xn},{yn}中落在U(A,ε)外的项至多有限，即A=limxn=limyn

② 充分性：由a=b=A，得到{xn},{yn}中落在U(A,ε)外的项至多有限，因此{zn}同理，得证。

二、用柯西收敛准则证明极限

回顾柯西收敛准则

即{xn}为基本列

柯西收敛准则的特点是，不需要预先猜测极限的值就能证明收敛性。

不过事实上这个准则更多是用于证明数列极限的特殊形式——数项级数的收敛性

这里只举一例：

证明：

因此只需

ok，这次的就到此为止了，会有后续，三连支持一下⑧