【数分/高数思想方法】数列极限 |
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前言:本专栏是一个系列教程。会将高数数分的思想方法大致都过一遍,算是进阶版的教程【√ 这次的内容是数列极限中的证明与计算,理论上数列极限的引入要建立在实数公理系统之上,不过考虑到高数没有相关内容,这里就先挖个坑以后再填【lan√】,看本专栏前你需要将相关基础知识都看一遍,要求很低,只需要达到了解的程度即可。 数列极限——极限的证明问题 一、用定义证明数列极限 二、用柯西收敛准则证明极限 三、证明极限不存在以及否定形式的应用 四、利用单调有界证明极限存在 五、利用子列及归结原则 本专栏为一、二部分的内容。 一、用定义证明数列极限 I.极限定义的ε-N法 回顾数列极限的定义: 记为 由极限定义可以推得收敛数列an具有唯一性、有界性、保号性、迫敛性【夹逼准则】 用定义证明时,给定的是任意小的数,只有N是要求的,找到N=N(ε)即可,一般采取以下方法: ①解方程即可得证 ②放大法(放缩):当①中的方程不好解的时候可以采取该方法,将不等式左边放缩一个n的函数f(n),只需要f(n)N1的部分即可用定义式放缩,因此上式 ,记为式(#) 这里第一项分子是有限项,所以趋于0,这里再用一次极限的定义式子: 并代入(#)式子右边得 由极限定义,得证。 【事实上这个问题用stolz公式可以直接做出来,这个公式后续专栏会有专题,故这里暂时不提】 这里的证明就用到了分步法,假定n已经大于N1将式子拆成n小于N1的部分和n大于等于N1的部分,再进行放缩,用这种方法结合(定理1)也可以证明下面这个定理: 这个证明和之前的差不多,不再赘述了,请读者自己完成【不会再来私信⑧】 提示一下: II.拟合法 再介绍一种不太常用的拟合法:在用定义证明| an-A |0,{zn}中落在U(A,ε)外的项至多有限,因此{xn},{yn}中落在U(A,ε)外的项至多有限,即A=limxn=limyn ② 充分性:由a=b=A,得到{xn},{yn}中落在U(A,ε)外的项至多有限,因此{zn}同理,得证。 二、用柯西收敛准则证明极限 回顾柯西收敛准则 即{xn}为基本列 柯西收敛准则的特点是,不需要预先猜测极限的值就能证明收敛性。 不过事实上这个准则更多是用于证明数列极限的特殊形式——数项级数的收敛性 这里只举一例: 证明: 因此只需 ok,这次的就到此为止了,会有后续,三连支持一下⑧ |
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