分层图最短路小记

分层图最短路，顾名思义，是一种在分层图下求最短路的方法。

一般模型是：

在图上，有k次机会可以直接通过一条边，问起点与终点之间的最短路径。

Alice和Bob现在要乘飞机旅行，他们选择了一家相对便宜的航空公司。该航空公司一共在nn个城市设有业务，设这些城市分别标记为00到n-1n−1，一共有mm种航线，每种航线连接两个城市，并且航线有一定的价格。

Alice和Bob现在要从一个城市沿着航线到达另一个城市，途中可以进行转机。航空公司对他们这次旅行也推出优惠，他们可以免费在最多kk种航线上搭乘飞机。那么Alice和Bob这次出行最少花费多少？

数据的第一行有三个整数，n,m,kn,m,k，分别表示城市数，航线数和免费乘坐次数。第二行有两个整数，s,ts,t，分别表示他们出行的起点城市编号和终点城市编号。接下来有m行，每行三个整数，a,b,ca,b,c，表示存在一种航线，能从城市aa到达城市bb，或从城市bb到达城市aa，价格为cc。

只有一行，包含一个整数，为最少花费。

还记得最短路么？

最短路的状态是这么转移的：

而在分层图最短路中，我们可以开一个二维的$dis_i,_j$，表示到起始节点到$i$号节点，已使用$j$次机会的代价。

于是我们便得到了这么一个状态转移方程：

代码大致和dijkstra差不多，我就只贴dijkstra的代码了。

代码大致如下：

这种做法很好写，也很好理解，不过浪费时空：

一下是几张张评测时的图片：

做法一

做法二

思想大致是：

我们如果有k次免费的机会，那我们就建k层图。

各层内部正常连边，各层之间从上到下连权值为0的边。每向下跑一层，就相当于免费使用一次机会。

代码不太重要就不贴了其实不会写（，可以去Payphone—X同学的Blog康。