正四边形单元刚度矩阵与其尺寸关系 |
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前两天在论坛上看到有人问关于正方形四边形单元(以下简称正四边形单元)的刚度矩阵是否都是一样的问题,起初乍一想,觉得应该不一样。但心里想,既然有人提到这个问题,而且以前也没有见过类似的讨论,决定还是自己推导一把。 以下图所示的正四边形单元为例, 1、按照等参元方法构造插值函数, 位移模式可表示为, 2、构造应变矩阵B,其中, 以B1为例,因为 所以 针对本问题有
代入插值函数N1得到
所以, 同理得到 于是, 3、构造单元刚度矩阵,以平面应力为例, 根据 即可求得单元刚度矩阵。 取a=b=1,利用MABTLAB编程求解上述刚度矩阵为 更改a=b的值,运用MATLAB求解后仍得到相同的刚度矩阵。
为验证上述结果,在ADINA中建立上述不同单元边长的模型,得到的刚度矩阵都为 对比MATLAB与ADINA输出的刚度矩阵可以看出,有个别元素存在一定的出入,这个问题自己还没想明白,若有人知道其中缘由,还请帮忙指出,先谢过。
通过上述推导与求解可以得出,对于各向同性线弹性材料,当矩形单元的长与宽相等时,其刚度矩阵是一样的。
附MATLAB程序(参考SIMWE论坛上的程序):
ex=2; ey=2; E=1;nu=0.3;h=1.;a=ex/2;b=ey/2; D=E/(1-nu^2)*[1 nu 0;nu 1 0;0 0 (1-nu)/2]; syms s t; N1=(1-s)*(1-t)/4; N2=(1+s)*(1-t)/4; N3=(1+s)*(1+t)/4; N4=(1-s)*(1+t)/4; B=1/(a*b)*[b*diff(N1,s) 0 b*diff(N2,s) 0 b*diff(N3,s) 0 b*diff(N4,s) 0; 0 a*diff(N1,t) 0 a*diff(N2,t) 0 a*diff(N3,t) 0 a*diff(N4,t); a*diff(N1,t) b*diff(N1,s) a*diff(N2,t) b*diff(N2,s) a*diff(N3,t) b*diff(N3,s) a*diff(N4,t) b*diff(N4,s)]; K=a*b*double(int(int((B'*D*B*h),s,-1,1), t,-1,1)) |
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