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§1.6 极限运算法则 极限语言只能证明极限,不能求极限。对于简单函数的极限问题,可以先用观察法看出其极限,再用极限语言加以证明,但对于一些形式复杂的函数,就不太容易观察出它的极限。 因此,研究函数极限的运算法则,便十分的必要。 【声明】 1、在下面的讨论中,只给出函数极限的运算法则,这些法则可相应地移植到数列极限。 2、在下面的讨论中,若下面未标明自变量的变化趋势,表明对及均成立的。 【定理一】有限个无穷小之和仍是无穷小。 【证明】考虑两个无穷小之和的情形。 设 及 均是当 时无穷小, 而 。 依无穷小的定义, 有: 只要取,有 这表明 是当 时的无穷小。 必须指出: 无限个无穷小之和不一定是无穷小。 【定理二】有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小。 【证明】设函数 在 的某一邻域 内有界 设 是当 时的无穷小。 下面证明 是 时的无穷小 依函数有界的定义,有: 依无穷小的定义, 有: 取 , 从而 这表明, 是 时的无穷小。 【推论一】常数与无穷小的乘积是无穷小。 【推论二】有限个无穷小的乘积是无穷小。 有一个问题: 无限多个无穷小的乘积是否为无穷小呢? 表面上,这一问题的答案是显然的,即:是无穷小。 其实却不然,因为无限多个数的乘法并没有定义。即: 我们并不会作无限多个数的乘法运算。 【定理三】(极限运算的分配律) 若 ,,则 存在,且 。 【证明】因 , , 由极限存在与无穷小的关系定理有: ( 是无穷小 ) 于是 由定理1,是无穷小; 由定理2的推论1, 是无穷小, 再由定理1,是无穷小; 总之,是无穷小。 利用极限与无穷小的关系有 高等数学中还有许多类似的性质,为此,我们对这一性质专门给出几点注解。 (1)、和均存在,则 存在。 (2)、若存在,不存在,则不存在。 【反证法】记 , 假设 存在 而 或 由于 与 均存在,据【定理三】有: 亦存在。 这与条件产生矛盾,故 不存在。 (3)、 与 均不存在, 则 可能存在, 也可能不存在。 【反例】设 , ,显然, 与均不存在 但是 存在, 而 不存在 【定理四】 若,,则 存在,且 。 定理四也有与定理三完全相同的四点注解,它还有两个重要的推论。 【推论一】 若存在,为常数, 则 。 【推论二】 若 存在,为正整数,则。 【定理五】 若,,且,则 存在,且 对商的极限运算法则, 应注意条件: (1)、极限 均存在。 (2)、作分母的函数 的极限 。 当这两个条件中有一个不满足时, 不可使用商的极限运算法则。 这一点在初学时很容易被忽视。 【定理六】 如果 , 而 、, 则 。 【证明】 作函数 , 且 。 由极限的保号性有: , 即 故 。 必须指出:即使不等式 严格成立, 结论仍然是,不可以认为是 。 例如:、表示圆的内接、外接正n边形的面积, 而表示圆的面积。 显然, ,但 。 运用上述结论,可帮助我们求大量的函数极限,大大地提高了求极限的能力,也避免了使用繁冗复杂的极限语言。当然,这些结论的获得得益于极限的精确语言。 首先,我们证明一个最基础,也最有用的结论: 设 是任意实数,则 【例1】 此极限可作一般性的推广: 【例2】 可对此例作一般性的推广: 设 是有理分式函数, 与 为的多项式,若 , 则 。 【证明】由定理5与例1, 有 【例3】 求 【例4】 对于有理分式函数,当时,不能使用商的极限法则来求极限。例题三、例题四给出了解这类问题的两种基本方法:
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