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§1.6 极限运算法则 极限语言只能证明极限,不能求极限。对于简单函数的极限问题,可以先用观察法看出其极限,再用极限语言加以证明,但对于一些形式复杂的函数,就不太容易观察出它的极限。 因此,研究函数极限的运算法则,便十分的必要。 【声明】 1、在下面的讨论中,只给出函数极限的运算法则,这些法则可相应地移植到数列极限。 2、在下面的讨论中,若 【定理一】有限个无穷小之和仍是无穷小。 【证明】考虑两个无穷小之和的情形。 设 依无穷小的定义, 有: 只要取 这表明 必须指出: 无限个无穷小之和不一定是无穷小。 【定理二】有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小。 【证明】设函数 设 下面证明 依函数有界的定义,有: 依无穷小的定义, 有: 取 这表明, 【推论一】常数与无穷小的乘积是无穷小。 【推论二】有限个无穷小的乘积是无穷小。 有一个问题: 无限多个无穷小的乘积是否为无穷小呢? 表面上,这一问题的答案是显然的,即:是无穷小。 其实却不然,因为无限多个数的乘法并没有定义。即: 我们并不会作无限多个数的乘法运算。 【定理三】(极限运算的分配律) 若
【证明】因
于是 由定理1, 由定理2的推论1, 再由定理1, 总之, 利用极限与无穷小的关系有 高等数学中还有许多类似的性质,为此,我们对这一性质专门给出几点注解。 (1)、 (2)、若 【反证法】记 而 由于
(3)、 【反例】设 但是 而 【定理四】 若
定理四也有与定理三完全相同的四点注解,它还有两个重要的推论。 【推论一】 若 【推论二】 若 【定理五】 若 对商的极限运算法则, 应注意条件: (1)、极限 (2)、作分母的函数 当这两个条件中有一个不满足时, 不可使用商的极限运算法则。 这一点在初学时很容易被忽视。 【定理六】 如果 【证明】 作函数 由极限的保号性有: 故 必须指出:即使不等式 例如: 显然, 运用上述结论,可帮助我们求大量的函数极限,大大地提高了求极限的能力,也避免了使用繁冗复杂的极限语言。当然,这些结论的获得得益于极限的精确语言。 首先,我们证明一个最基础,也最有用的结论: 设 【例1】 此极限可作一般性的推广: 【例2】 可对此例作一般性的推广: 设 【证明】由定理5与例1, 有 【例3】 求 【例4】 对于有理分式函数
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