F

光波的叠加原理，观察屏上的波前函数为：

\widetilde U(x, y) = \widetilde U_1(x, y)＋\widetilde U _2(x, y)+···\\

观察屏上的光强分布：

\begin{align} I(x, y) & = \widetilde U (x, y)⋅\widetilde U^*(x, y)\\ & =(\widetilde U_1(x, y)＋\widetilde U _2(x, y)+···)(\widetilde U_1(x, y)＋\widetilde U _2(x, y)+···)^* \end{align}\\

确定各个波前函数之间的关系——振幅关系和相位关系

反射光

\left\{ \begin{align} &A_1 = Ar\\ &A_2 = Atr't'\\ &A_3 = Atr'^3 t'\\ &A_4 = Atr'^5 t'\\ &... ... \end{align} \right.\\

透射光

\left\{ \begin{align} &A_1 '= Att'\\ &A_2 '= Att'r'^2\\ &A_3 '= Att'r'^4\\ &A_4 '= Att'r'^6\\ &... ... \end{align} \right.\\

光程差

∆L=2nhcosθ\\

相位差

δ =\frac{2π}{λ}∆L=\frac{4π nhcosθ}{λ}\\

反射光

\left\{ \begin{align} &\widetilde U_1=Ar\\ &\widetilde U_2= Atr't'e^{iδ}\\ &\widetilde U_3= Atr'^3t'e^{i2δ}\\ &\widetilde U_4= Atr'^5t'e^{i3δ}\\ &...... \end{align} \right.\\

透射光

\left\{ \begin{align} &\widetilde U_1'=Att'\\ &\widetilde U_2'= Att'r'^2e^{iδ}\\ &\widetilde U_3'= Att'r'^4e^{i2δ}\\ &\widetilde U_4'= Att'r'^6e^{i3δ}\\ &...... \end{align} \right.\\

\left\{ \begin{align} &\widetilde U_R=\sum_{j=1}^∞\widetilde U_j\\ &\widetilde U_T=\sum_{j=1}^∞\widetilde U_j'\\ \end{align} \right.\\

光强公式

\left\{ \begin{align} &I_R=\widetilde U_R\widetilde U_R^*\\ &I_T=\widetilde U_T\widetilde U_T^*\\ \end{align} \right.\\

等比数列求和得透射光的复振幅

\widetilde U_T=\frac{Att'}{1-r'^2e^{iδ}}\\

反射光的复振幅

\widetilde U_R=[r+\frac{tt'r'e^{iδ}}{1-r'^2e^{iδ}}]A\\

利用菲涅公式可得

\left\{ \begin{align} &r=-r'\\ &tt'=1-r^2 \end{align} \right.\\

所以上式可变为

\widetilde U_R=-\frac{r'[1-(r'^2+tt')e^{iδ}]}{1-r'^2e^{iδ}}A\\

然后根据分界面上反射波和折射波得能量流与入射波得能量流之比

R=\frac{W'_1}{W_1}=\frac{I'_1}{I_1}=\frac{A'^2_1}{A^2_1}\\

T=\frac{W_2}{W_1}=\frac{I_2cosθ_2}{I_1cosθ_1}=\frac{n_2cosθ_2}{n_1cosθ_1}·\frac{A^2_2}{A^2_1}\\

R和T分别称为反射率和透射率，根据能量守恒定律

R+T=1\\

\left\{ \begin{align} &r^2=r'^2=R\\ &tt'=1-R=T \end{align} \right.\\

用反射率R表示反射光复振幅

\widetilde U_R=\frac{\sqrt R[1-e^{iδ}]}{1-Re^{iδ}}A\\

得反射光在p点得光强为

\begin{align} I_R=\widetilde U_R\widetilde U_R^*&=\frac{(2-2cosδ)R}{1+R^2-2Rcosδ}I_0\\ &=\frac{4Rsin^2δ/2}{(1-R)^2+4Rsin^2δ/2}I_0 \end{align} \tag1\\

同理，透射光复振幅

\widetilde U_T=\frac{Att'}{1-r'^2e^{iδ}}\\

可写成

\widetilde U_T=\frac{T}{1-Re^{iδ}}A\\

透射光强

\begin{align} I_T=\widetilde U_T\widetilde U_T^*&=\frac{T^2}{1+R^2-2Rcosδ}I_0\\ &=\frac{T^2}{(1-R)^2+4Rsin^2δ/2}I_0 \end{align} \tag2\\

为方便讨论，引入精细度系数

F=\frac{4R}{(1-R)^2}\\

由(1)(2)得

\frac{I_R}{I_0}=\frac{Fsin^2δ/2}{1+Fsin^2δ/2}\tag3\\

\frac{I_T}{I_0}=\frac{1}{1+Fsin^2δ/2}\tag4\\

\frac{I_R}{I_0}+\frac{I_T}{I_0}=1\\

上式表明反射光和透射光干涉图样互补

峰值位置θk ：

δ_k = 2kπ → 2nhcosθ = kλ\\

cosθ≈1，通常h远大于波长，级次k很大

半值相位宽度ε ：

I_T(δ_k ± 1/2ε) = 1/2I_0\\

带入(4)得

\frac{1}{1+Fsin^2\frac{ε}{4}}=1/2\\

因为ε很小，有sinε/4≈ε/4,带入上式得半值相位宽度

ε=\frac{4}{\sqrt F}=\frac{2(1-R)}{\sqrt R}\\

条纹得精细度S

S=\frac{2π}{ε}=\frac{π\sqrt{R}}{1-R}\\

由上式可以看出，当平面表面得反射率R趋近于1时，条纹得精细度趋近于无穷大，条纹变得极细

对应得半值角宽度

δ =\frac{2π}{λ}2nhcos(θ_k±∆θ_k/2)=δ_k±ε/2\\

∆θ_k ≈\frac{λ}{2πnhsinθ_k}·\frac{1-R}{\sqrt R}\\

λMk级亮环和λm的K+1级亮环重合，则相邻光谱重叠，测量失效

kλ_M = (k +1)λ_m\\

λ_M −λ_m =\frac{λ_m}{k}\\

k ≈ 2nh/\overlineλ\\

所以：

∆λ=λ_M−λ_m=λ_m/k≈\frac{\overlineλ^2}{2nh}\\

光在F-P腔内多次反射和透射而相干叠加，使透射光谱结构明显区别于入射光谱，将连续宽光谱变为透射光的准分立谱

正入射时，cosθ=1

峰值位置 2nh=kλk

得纵模频率应满足

v_k=\frac{c}{λ_k}=k\frac{c}{2nh}\\

纵模间隔为

∆v = v_{k+1} − v_k =\frac{c}{2nh}\\

与级次k无关，与腔长成反比

半值相位宽度

ε=\frac{4}{\sqrt F}=\frac{2(1-R)}{\sqrt R}\\

对应得谱线宽度：

δ =\frac{2π}{λ}2nh(v_k±∆v_k/2)=δ_k±ε/2\\

∆v_k≈\frac{c}{2πnh}·\frac{1-R}{\sqrt R}\\

或

∆λ_k≈\frac{λ^2_k}{2πnh}·\frac{1-R}{\sqrt R}\\

多光束干涉具有挑选波长的作用：

只有若干离散的准单色谱线被选中，参与干涉场的非相干叠加；其它频谱成分被排斥在外，而不参与干涉场的非相干叠加。

后面涉及激光器部分再继续补充