毕业设计（论文）：几类微分方程组的计算及其Matlab求解.doc

本科毕业设计（论文）AbstractThe

differential

equation

is

one

of

the

most

powerful

and

widely

used

mathematicalsciencesin

the

17th

centuryappearingwith

the

integral

equation,which

is

produced

by

the

needs

ofhumanproductionand

practice.

The

emergence

of

it

isevenearlierthan

that

of

calculus.

For

mathematics,

especially

forthe

application

of

mathematics,differential

equations

have

great

significance.Somebasic

laws

of

things

changecanbe

accurately

describedbythe

differential

equations.Alot

ofphysical

and

technical

problems

can

be

attributed

to

the

differential

equations

solving

problem.Differential

equationsare

also

widelyusedinthefieldofengineering,electronicengineering,electronicandcommunications.

In

the

study

of

linear

algebra,the

eigen-values

and

eigenvectors

ofthematrix

are

basic

concepts.

The

similarity

ofthe

matrices

is

related

to

the

calculation

of

eigenvalues

and

eigenvectors,

and

also

to

the

diagonalization

of

matrices.

In

this

paper,

we

discuss

several

classes

of

linear

differential

equations

that

can

be

solved

by

using

the

similardiagonalform,Jordanstandardformand

the

minimal

polynomial

of

the

matrixandgivethecommandsbythesoftwareofMatlab.Meanwhile,we

introduce

asimplemathematicalmodelaboutdifferential

equationswhicharerelatedwiththe

similardiagonalformofmatrices.Keywords:Lineardifferentialequations;Similardiagonalform;Minimimalpolynomial;Jordanstandardform目录摘要 IAbstract II目录 III第一章 绪论 11.1 引言 11.2线性微分方程组的研究背景 1第二章一阶线性微分方程组基础 32.1线性微分方程组基本理论 32.1.1常微分方程定义 32.1.2线性微分方程 32.1.3线性微分方程组 42.1.4齐次线性微分方程 52.2线性微分方程组的矩阵表示 62.2.1线性映射的矩阵表示 62.2.2线性变换的矩阵表示 7第三章相似对角形求解线性微分方程组 93.1矩阵相关概念 93.1.1特征值和特征向量 93.1.2特征值、特征向量的性质 93.2矩阵相似对角形求解线性微分方程组 103.2.1矩阵相似对角形相关概念 103.2.2相似对角形求解线性微分方程组 123.3相似对角型求解木桶流水问题 15第四章利用Jordan标准型和最小多项式求解线性微分方程组 184.1矩阵Jordan标准型 184.1.1矩阵Jordan标准型相关概念 184.1.2矩阵Jordan标准型求解线性微分方程组 204.2矩阵最小多项式 234.2.1矩阵最小多项式相关概念 234.2.2最小多项式与矩阵关系 244.2.3矩阵最小多项式求解线性微分方程组 25第五章总结 28参考文献 29致谢 30附录 31绪论引言常微分方程组是一门利用数学理论研究自然现象和社会现象的学科，运用微分方程组解决问题既有实际意义，也有科研意义。微分方程在许多学科领域内有着重要的应用，如自动控制，桥梁隧道的设计，电子学装置的设计，飞机和导弹飞行稳定性的研究等。这些问题都可以概括为求微分方程（组）的解，或者概括为质问题。本论文主要讨论可利用矩阵相似对角形、矩阵的若当标准型和矩阵的最小多项式等理论求解的若干类线性微分方程组，给出Matlab软件求解这些的命令实现，同时介绍使用矩阵的相似对角形方法求解的简单微分方程组模型。1.2线性微分方程组的研究背景众所周知，微分方程组可用来解决实际问题。在几何立体学、计算数学、计算机图形学、建筑学以及大量的边缘科学诸如化学、道路桥梁学、动力气象学、海洋力学、地下水动力学等学科中都有着普遍的应用。随着自然科学的快速发展，各类应用的不断拓宽加深，微分方程的应用也更加频繁、广泛。对各类工程问题的分析常常归类为求相应的常微分方程组数学模型解的问题。对一阶线性微分方程组的研究已经取得了很多成果，其中常规的求解理论基本成熟，对于一些特殊的方程组，很多学者也给出了一些不具代表性的特殊解法。经过数学家们多年的努力，发现矩阵在求解线性微分方程组方面独具的优势，并且矩阵在一些线性方程组中的应用取得了突出进展。微分方程是17世纪中期产生的一门具有极强理论性且应用范围广的数学学科。目前微分方程组的发展分为四个阶段。微分方程的理论阶段是17到18世纪，该阶段主要是研究方程组的通解；微分方程组的适定性阶段是18世纪下半页到19世纪上半叶，该阶段主要是从研究方程组通解的热潮中转向研究方程组问题的适定性阶段；微分方程组的理论解析阶段是19世纪，该阶段主要研究方程组的解析理论；微分方程的定性理论阶段则是19世纪至20世纪，该阶段主要是研究方程组的稳定性理论。微分方程最早出现在数学家们的互相通信中，1676年莱布尼兹在给牛顿的信件里第一次提到现今的专业名词“微分方程”。在此后的发展历程中，英国牛顿和布莱尼兹运用无穷级数法及待定系数法解决了一些初等微分方程；瑞士伯努利一家通过多年奋斗得出了求解微分方程法变量分离法和换元法；瑞士数学家欧拉在前人的基础上通过努力得出了降阶法、积分因子法和常系数齐次线性方程组的通解；达郎帕尔得出了关于非齐次线性方程组的叠加原理；拉格朗日研究关于求解齐次线性方程组的常数变易法,求出了非齐次线性方程组的特解；可莱研究出了关于全微分方程的充要条件和方程组基解的基本概念，并引入了19世纪末算子方法和拉普拉斯变换等方法。微分方程的产生是人类生活生产实践活动需要的结果，对于数学特别是工程数学，微分方程有深远意义。目前线性微分方程组的实际背景广，应用性强已受到广泛关注，许多国外教材和国内新版教材都强调这一点，并给出了实际应用的例题。通过研究工科问题突出数学的应用，引导学生建立线性微分方程组的方法解决各种问题，这样利用微分方程组就可以准确的表述实际问题中所包含的普遍自然规律。这些应用也赋予微分方程新的活力，推进微分方程组的发展，使之成为数学领域重要的成员。第二章一阶线性微分方程组基础2.1线性微分方程组基本理论2.1.1常微分方程定义以及它的导数的。在微分方程中，，那么我们称这种为常微分方程。其方程形式如：（2.1）(2.2)这里是未知函数，是自变量。微分方程组中出现的未知函数的阶数的阶数。一般的阶具有如下形式(2.3)这里是的已知函数，而且一定含有；是未知函数，是自变量。本篇文章我们主要讨论的是一阶线性微分方程组。2.1.2线性微分方程 如果方程的左端为及的一次有理整式，则称为阶线性微分方程。例如，方程是二阶线性微分方程。一般阶线性微分方程具有如下形式（2.4）这里是的已知函数。2.1.3线性微分方程组我们考察形如（2.5）的微分方程组，称之为，其中已知函数和在上连续。我们引进下面的矩阵（2.6）这里是矩阵。它的元是个函数。（2.7）这里，是矩阵或维列向量。2.1.4齐次线性微分方程形如：（2.8）如果，那么称（2.8）为非齐次线性微分方程组，如果，则方程的形式为：（2.9）我们称（2.9）为，把（2.9）称为对应于（2.8）的齐次线性微分方程组。设和是线性微分方程组(2.9)的两个任意解，和是任意两个常数，根据向量函数的微分法则，可得也是（2.9）的解，即可以求出的叠加原理。叠加原理：假如和是(2.9)的解，那么它们的线性组合也是（2.9）的解，这里和是任意常数。定理2.1齐次线性微分方程组（2.9）一定存在个线性无关的解。定理2.2如果是（2.9）的个线性无关的的解，则（2.9）的任意一解均可表示为,这里是相应的确定常数。推论2.3方程组（2.9）的线性无关解的个数小于等于（可能存在相同解）。推论2.4如果方程组（2.9）有个线性无关解，那么（2.9）可以降为含个。特别地，如果知道方程组（2.9）有个线性无关解，则方程组（2.9）的。我们称（2.9）的个线性无关的解为方程组（2.9）的一个基本解组，显然（2.9）有无穷多个不同的基本解组。由定理2.1和定理2.2，我们知道（2.9）的构成一个维。2.2线性微分方程组的矩阵表示 2.2.1线性映射的矩阵表示设是的一组基，是的一组基。是的一个线性映射，则或写成 （2.10）

令（2.11）把它代入（2.10）得（2.12）矩阵称为在基与基下的矩阵表示。显然在确定一组基后，对应的矩阵是唯一的，在不同基下的是不一样的。有了线性映射在一对基下的矩阵表示之后，可以得到向量空间中向量与它在向量空间中的像之间的一一对应关系。设,故它的像，可写为又根据坐标的唯一性，得写成矩阵形式为（2.13）其中（2.13）称为线性映射在给定基与下向量坐标变换公式（原像与像的坐标对应关系）。2.2.2线性变换的矩阵表示设为线性空间的线性变换，是的一组基，如果则所以在下的矩阵表示是阶矩阵。设，若则原像与的坐标变换公式为第三章相似对角形求解线性微分方程组3.1矩阵相关概念3.1.1特征值和特征向量定义3.1设是数域上的维线性空间的线性变换，如果在中存在一个非零向量使得（3.1）那么称是的一个特征值，称是的的一个。定义3.2是数域上的阶矩阵，是一个实数，则矩阵称之为的特征矩阵，行列式（3.2）称之为的特征多项式，次代数方程称之为的特征方程，它的根称之为的特征根或特征值。其中将的特征值代入方程组所得的非零解称之为的对应特征值的特征向量。矩阵的特征多项式在复数范围内有个根，因此一个阶方阵有个特征值。定理似矩阵有相同的特征值。是阶矩阵属于特征值的特征向量，则则是的属于特征值的特征向量。3.1.2特征值、特征向量的性质阶方阵有个特征值，对于每一个特征值代入式可以求得相应的特征向量，这些特征向量加上零向量构成维向量空间的一个子空间称为特征子空间，用表示。定理3.3设是阶方阵，它的个互不相同的特征值，对应的重根数分别为，则称为的代数重复度。特征子空间的维数称为特征值的几何重复度。定3.4的个互不相同的特征值，并且是对应于的特征向量，则线性无关。3.5的个互不相同的特征值，是的几何重复度，是对应于的个线性无关的特征向量，则的所有这些特征向量；仍然线性无关。定理3.6任一矩阵的特征值的几何重复度小于等于它的代数重复度。3.2矩阵相似对角形求解线性微分方程组3.2.1矩阵相似对角形相关概念定义3.3数域上的维线性空间的线性变换称为可对角化的，如果中存在一个基，使得在这个基下的矩阵为对角矩阵。定义3.4若阶矩阵与对角矩阵相似，则称为可对角化矩阵，也称是单纯矩阵。3.7是两个阶数字矩阵，则的充要条件是。定理3.8的充要条件是有相同初等因子。定理3.9线性变换可对角化的充分必要条件是矩阵可对角化。3.10矩阵可对角化的充分必要条件是有个线性无关的特征向量。证明：设矩阵有个线性无关的特征向量对于每一个，令为对应的特征值。令为一个矩阵，其第列向量为，即可得为的第个列向量。于是有因为有个线性无关的列向量，可得不是奇异的，即有反之，可设为可对角化矩阵，则有一个非奇异矩阵，可知。若为的列向量，则对每一，因此对于每一个，为的特征值，且为属于的特征向量。由于的列向量是线性无关的，因此有个线性无关的特征向量。注：（1）若为可对角化矩阵，有对角化矩阵的列向量为的特征向量，且的对角化元素为相应的特征值。（2）可对角化矩阵不具有唯一性的，把给定可对角化矩阵的各列重新排列，或进行初等变换，可以得到一个新的可对角化矩阵。（3）为阶矩阵，且有个不同的特征值，即可对角化，若特征值有重复值，则是否可对角化由是否有个线性无关的特征向量决定，若有个线性无关的特征向量，则可以对角化，否则不可以。（4）若一个线性变换在某组基下的矩阵表示是对角形，则称这个线性变换为可对角化变换。推论3.11，则称是的个特征值，的第个列向量是的属于的特征向量。3.12矩阵可对角化的充要条件是的每一个特征值的几何重复度等于其代数重复度。推论3.13若矩阵的特征根全是单根，则可对角化。3.14如果阶矩阵的谱为，特征值的代数重复度为则与对角矩阵相似的充要条件是的代数重复度=3.2.2相似对角形求解线性微分方程组求解步骤：给出线性微分方程组（3.3）令则方程组（3.3）的矩阵形式为(3.4)判断方程组（3.3）的系数矩阵是否有个线性无关的特征向量，若有将化为可对角化矩阵，即存在使得命(3.5)其中把式（3.5）代入（3.4）得即以左乘上式两端得(3.6)因此经过积分求解得代入方程组（3.5），求得微分方程解组为。典型例题：求解线性微分方程组（3.7）令原方程组可写为即（3.8）通过定理3.10可判断矩阵是否可以对角化的特征多项式显然，特征值只有，将特征值带入到，解得属于特征值2有两个线性无关的特征向量,属于特征值6的特征向量，易判断线性无关，则满足定理3.10。因此可以得到可逆矩阵为在求出为于是有命（3.9）其中把是（3.9）式代入（3.8）得即以左乘上式两式得（3.10）即有由可得则依次求出可得，既有即求得解其中是任意常数。3.3相似对角型求解木桶流水问题如图1链接在一起，中有100升溶解了40克盐的水，桶中有水100升，以15L/min的速度向桶中注入水，将桶中溶液以20L/min速度注入桶，将桶中溶液以5L/min速度注入桶，并且将桶中溶液以15L/min速度抽出桶外，试求每一时刻每个桶中盐的含量。图3.1木桶流水问题图示解：令和分别为时刻时桶和桶中盐的克数。既有初始值由于注入和注出的速度是一样的，所以桶和桶中液体总量200L不变。每一个桶中盐量的变化速度等于盐注入的速度减去盐注出的速度。对桶，盐注入的速度为盐注出的速度为因此，桶中盐的变化速度为类似地，对桶，盐的变化速度为求得和，需要求其中有即的特征值为，，相应的特征向量为和所以它的解可以表示为当，，有通过求解得出，这个方程组的解为。因此，初值问题有解为第四章利用Jordan标准型和最小多项式求解线性微分方程组4.1矩阵Jordan标准型4.1.1矩阵Jordan标准型相关概念定义4.1称阶矩阵（4.1）为Jordan块，设为Jordan块，称准对角矩阵（4.2）为Jordan标准形。定义4.2设，的初等因子为则有这里其中（4.3）称是矩阵的Jordan标准形。定理4.1矩阵可对角化的充要条件是的初等因子都是一次因式。定义4.3-矩阵的行列式因子与不变因子都是的多项式，它们都是由的元素经过“加、减、乘”而得到。在复数域内，作为多项式的不变因子总可以分解为互不相同的一次因式方幂的乘积，令因此所以这里的是的全部相异零点，所以无一为零。但是中可能出现零，而且若有=01,2，），那么也必有我们将（4.4）中不是常数的因子全体叫做的初等因子。例如，如-矩阵的不变因子为则它的初等因子为定义4.5设矩阵的秩为，对于正整数，，必有非零的阶子式，的全部阶子式的首项系数为1的最大公因式称为的阶行列式因子。定理4.2对任何一个非零的阶矩阵都等价于一个“对角形”矩阵。即（4.5）这里有，是首项系数为1的多项式，有，记作叫做能被整除。定义4.6与等价的（4.5）的右端矩阵称作的Smith标准型，称作的不变因子。4.1.2矩阵Jordan标准型求解线性微分方程组求解步骤给出线性微分方程组：（4.6）其中均为常数，将此方程写成矩阵形式(4.7)这里，设是的Jordan标准型，则(4.8)令（4.9）把式（4.9）带入到（4.7）中得 (4.10)将左乘上式的（4.11）若由式（4.11）可求得，然后通过式（4.9）可求得原来方程的解X。典型例题：求解线性微分方程组命则方程组可写为先求出的Jordan标准型。对初等变换得的初等因子是故求出的Jordan标准型是故存在,满足（4.12）命把代入（4.12）得(4.13)比较（4.13）两边得在上述方程组中只要依次各取一个解分别为组成即可。易见是的特征值为1的两个线性无关的特征向量。解方程组可求得两个线性无关的特征向量若取代入该方程组无解。这时不能认为不存在因为的特征子空间是二维的，即的线性无关特征向量不仅是。例如只要满足的任意数，也是的线性无关的特征向量。因此若取，只要使得方程组有解，不难知道只要当时，取代入方程组有解为取它的一个解，就可。于是容易验证有可得令则由得，，不难求得，，代入得其中为任意常数。4.2矩阵最小多项式4.2.1矩阵最小多项式相关概念定义4.7给定矩阵，如果多项式满足，则称是的化零多项式。定理4.3阶方阵的特征多项式是的化零多项式，即。4.8在的化零多项式中，次数最低且首项系数为1的化零多项式称为的最小多项式，记为。定理4.4设，则的任一化零多项式都能被整除；的最小多项式是唯一的；相似矩阵的最小多项式相同；由定理4.4知的最小多项式是其特征多项式的因子。定理4.5设分别是的最小多项式，则的最小多项式是的最低公倍式。4.6设为矩阵的最小多项式，那么以为根当且仅当整除。定理4.7矩阵的特征多项式与最小多项式有一样的根。定理4.8阶矩阵的所有多项式构成的线性空间称作。的最小多项式的次数为，有且是的一个基。4.2.2最小多项式与矩阵关系定义4.9设矩阵的最小多项式为则称集合为的谱，记为定义4.10设，称函数在的谱上给定，是指定了其中为的最小多项式的次数，若在的谱上给定，则记为。定理4.9设是由矩阵级数定义的矩阵函数，有所对应的函数如果有复系数多项式，并且有则4.2.3矩阵最小多项式求解线性微分方程组解题步骤：给出线性微分方程组（4.14）其中均为常数，将此方程写成矩阵形式（4.15）其中则的特征多项式可写为,通过特征多项式的求解得到最小多项式，则可得。设由于，根据定理4.9，即可以求出进而得出，所以可以用基解矩阵表示出来。典型例题：求解线性微分方程组(4.16)则可以得到方程组(4.17)其中的特征多项式为=（，通过定理4.7得知的最小多项式，通过计算所以得的最小多项式为由于是2次多项式，且设得知是一次多项式。设且则有解得从而=即得基解矩阵第五章总结从微分方程的产生到今天线性微分方程组各种理论的出现形成，线性微分方程组经历了漫长的发展。对于一般常规微分方程组的求解，数学家给出了各种不同的解法。本篇论文主要是研究一阶线性微分方程组的解法。综合各类参考资料，我发现出了求解微分方程组的几种解法，分别为复变函数法、参数理论法、矩阵法和泰勒级数求解线性微分方程组。本文论题的出发点则是从矩阵法研究线性微分方程组的解法。在本文的第三第四章节里着重介绍了矩阵求解线性微分方程组的三种方法，分别是利用矩阵相似对角形、矩阵若当标准型和矩阵的最小多项式求解线性微分方程组。在利用相似对角形求方程组中，需要先判断该方程的系数矩阵是否可以对角化。在若当标准型解法中则是先把矩阵若当标准化，第四章部分内容给出了矩阵标准化的方法。在最小多项式中则是利用求解最小多项式的解，得出特征多项式的解，进而得出方程组的解。线性微分方程组是在实际中应用很广泛，尤其是在应用数学、工程技术等方面更有突出的作用。在解决现实问题中，经常需要用到一阶线性微分方程组建立模型，得出结果。 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