【线性代数】矩阵特征值的快速求法

本文讨论3阶矩阵的特征值的快速求法。

分为速写特征多项式和速解方程两部分。

不妨令： A = [ a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 ] \boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{lll} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array}\right] A= ​a11​a21​a31​​a12​a22​a32​​a13​a23​a33​​ ​ 其特征多项式为： ∣ λ E − A ∣ = ∣ λ − a 11 − a 12 − a 13 − a 21 λ − a 22 − a 23 − a 31 − a 32 λ − a 33 ∣ |\lambda \boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}|=\left|\begin{array}{ccc} \lambda-a_{11} & -a_{12} & -a_{13} \\ -a_{21} & \lambda-a_{22} & -a_{23} \\ -a_{31} & -a_{32} & \lambda-a_{33} \end{array}\right| ∣λE−A∣= ​λ−a11​−a21​−a31​​−a12​λ−a22​−a32​​−a13​−a23​λ−a33​​ ​ 直接展开可得： ∣ λ E − A ∣ = λ 3 − ( a 11 + a 22 + a 33 ) λ 2 + k λ − ∣ A ∣ |\lambda \boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}|=\lambda^3-(a_{11}+a_{22}+a_{33})\lambda^2+k\lambda-|A| ∣λE−A∣=λ3−(a11​+a22​+a33​)λ2+kλ−∣A∣ 即： ∣ λ E − A ∣ = λ 3 − t r ( A ) ⋅ λ 2 + k λ − ∣ A ∣ |\lambda \boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}|=\lambda^3-tr(A)\cdot\lambda^2+k\lambda-|A| ∣λE−A∣=λ3−tr(A)⋅λ2+kλ−∣A∣ 此处的： k = ( a 11 a 22 + a 11 a 33 + a 22 a 33 ) − ( a 12 a 21 + a 13 a 31 + a 32 a 23 ) k=(a_{11}a_{22}+a_{11}a_{33}+a_{22}a_{33})-(a_{12}a_{21}+a_{13}a_{31}+a_{32}a_{23}) k=(a11​a22​+a11​a33​+a22​a33​)−(a12​a21​+a13​a31​+a32​a23​) 即：主对角错乘 − - −对称位置相乘。

求下列矩阵的特征多项式 A = [ 2 − 2 0 − 2 1 − 2 0 − 2 0 ] \boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc} 2 & -2 & 0 \\ -2 & 1 & -2 \\ 0 & -2 & 0 \end{array}\right] A= ​2−20​−21−2​0−20​ ​ [解析]：显然 ∣ A ∣ = 8 , t r ( A ) = 2 + 1 + 0 = 3 |A|=8,tr(A)=2+1+0=3 ∣A∣=8,tr(A)=2+1+0=3

注意 k = ( 2 × 1 + 0 + 0 ) − [ ( − 2 × ( − 2 ) + 0 + ( − 2 ) × ( − 2 ) ) ] = 2 − 8 = − 6 k=(2\times 1+0+0)-[(-2\times (-2)+0+(-2)\times (-2))]=2-8=-6 k=(2×1+0+0)−[(−2×(−2)+0+(−2)×(−2))]=2−8=−6

因此特征多项式为： ∣ λ E − A ∣ = λ 3 − 3 λ 2 − 6 λ − 8 |\lambda \boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}|=\lambda^3-3\lambda^2-6\lambda-8 ∣λE−A∣=λ3−3λ2−6λ−8

对于三次方程，第一步都需要猜根法，即若 f ( λ ) f(\lambda) f(λ)满足 f ( λ 0 ) = 0 f(\lambda_0)=0 f(λ0​)=0，则有因式 ( λ − λ 0 ) (\lambda-\lambda_0) (λ−λ0​)。

其次，三次方程韦达定理，即：

a x 3 + b x 2 + c x + d = 0 ( a ≠ 0 ) ax^3+bx^2+cx+d=0(a\neq0) ax3+bx2+cx+d=0(a=0)的三个根满足： x 1 x 2 x 3 = − d a x_1x_2x_3=-\frac{d}{a} x1​x2​x3​=−ad​ 对于我们计算的： ∣ λ E − A ∣ = λ 3 − t r ( A ) ⋅ λ 2 + k λ − ∣ A ∣ |\lambda \boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}|=\lambda^3-tr(A)\cdot\lambda^2+k\lambda-|A| ∣λE−A∣=λ3−tr(A)⋅λ2+kλ−∣A∣ 显然可知： λ 1 λ 2 λ 3 = ∣ A ∣ \lambda_1\lambda_2\lambda_3=|A| λ1​λ2​λ3​=∣A∣ 因此猜所有 ∣ A ∣ |A| ∣A∣的因子即可。

求： f ( x ) = x 3 − 6 x 2 + 3 x + 2 = 0 f(x)=x^3-6x^2+3x+2=0 f(x)=x3−6x2+3x+2=0的解

[解析]：注意到 f ( 1 ) = 0 f(1)=0 f(1)=0

分解为： ( x − 1 ) ( 二次因式 ) (x-1)(二次因式) (x−1)(二次因式)

二次因式如何确定？其实很简单。

注意到：三次项系数为 1 1 1，因此二次因式的二次项一定为 x 2 x^2 x2

注意到：常数项为 2 2 2，因此二次因式的常数项一定为 − 2 -2 −2，因为这样才有 ( − 2 ) × ( − 1 ) = 2 (-2)\times(-1)=2 (−2)×(−1)=2

此时已经是： x 3 − 6 x 2 + 3 x + 2 = ( x − 1 ) ( x 2 + b x − 2 ) x^3-6x^2+3x+2=(x-1)(x^2+bx-2) x3−6x2+3x+2=(x−1)(x2+bx−2)

那么如何确定一次项呢？其实很简单，有两种思路：

不要展开，只看结果的二次项，是 − 6 x 2 -6x^2 −6x2，所以 b x 2 − x 2 = − 6 x 2 bx^2-x^2=-6x^2 bx2−x2=−6x2

那么 b = − 5 b=-5 b=−5，所以分解为： x 3 − 6 x 2 + 3 x + 2 = ( x − 1 ) ( x 2 − 5 x − 2 ) x^3-6x^2+3x+2=(x-1)(x^2-5x-2) x3−6x2+3x+2=(x−1)(x2−5x−2)

也可以只看结果的一次项，是 3 x 3x 3x，所以： ( − 1 ) × ( b x ) − 2 x = 3 (-1)\times (bx)-2x=3 (−1)×(bx)−2x=3

依然得出： b = − 5 b=-5 b=−5

看到某考研老师还在用多项式除法计算这个方程的解，实在太过复杂。

之前笔者做高中数学的培训，跟高中学生讲解三次方程的求法就是采用上述方法，不知道为什么很多书还在使用多项式除法。

步骤如下：

[step1]：迅速求出 ∣ A ∣ , k , t r ( A ) |A|,k,tr(A) ∣A∣,k,tr(A)速写特征多项式

[step2]：猜根分解因式

虽然本例比较特殊，上三角行列式的特征值就是主对角线元素，但还是可以作为练习。

求下列矩阵的特征值： A = [ 1 1 1 0 2 2 0 0 3 ] \boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{lll} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 3 \end{array}\right] A= ​100​120​123​ ​ [解答]：显然 t r ( A ) = 6 ， ∣ A ∣ = 6 , k = ( 2 + 3 + 6 ) − 0 = 11 tr(A)=6，|A|=6,k=(2+3+6)-0=11 tr(A)=6，∣A∣=6,k=(2+3+6)−0=11

因此特征多项式为： f ( λ ) = λ 3 − 6 λ 2 + 11 λ − 6 f(\lambda)=\lambda^3-6\lambda^2+11\lambda-6 f(λ)=λ3−6λ2+11λ−6

观察得 λ = 1 \lambda=1 λ=1是根， f ( λ ) = λ 3 − 6 λ 2 + 11 λ − 6 = ( λ − 1 ) ( λ 2 + b λ + 6 ) f(\lambda)=\lambda^3-6\lambda^2+11\lambda-6=(\lambda-1)(\lambda^2+b\lambda+6) f(λ)=λ3−6λ2+11λ−6=(λ−1)(λ2+bλ+6)

观察结果的二次项系数： − λ 2 + b λ 2 = − 6 -\lambda^2+b\lambda^2=-6 −λ2+bλ2=−6

因此 b = − 5 b=-5 b=−5

分解为： $$ \begin{aligned} f(\lambda)=\lambda3-6\lambda2+11\lambda-6&=(\lambda-1)(\lambda^2-5\lambda+6)\ &=(\lambda-1)(\lambda-2)(\lambda-3)

\end{aligned} $$ 因此特征值为： λ = 1 , 2 , 3 \lambda=1,2,3 λ=1,2,3