概率论

正态/高斯分布式最常用的分布之一。如果一个随机变量的概率密度函数为： f x ( x ) = 1 2 π σ 2 exp ⁡ { − ( x − μ ) 2 σ 2 } ， f_x(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^2}} \exp \{ \frac{-(x-\mu)}{2\sigma^2} \}， fx​(x)=2πσ2 ​1​exp{2σ2−(x−μ)​}， 这是关于参数 μ \mu μ(均值)为钟型的曲线。

它的分布函数由下面的变上限积分给出： F x ( x ) = P ( X ≤ x ) = ∫ − ∞ x 1 2 π σ 2 exp ⁡ { − ( t − μ ) 2 2 σ 2 } d t ≡ G ( x − μ σ ) F_x(x) = P(X\leq x)=\int_{-\infty}^{x} \frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^2}} \exp \{ - \frac{(t-\mu)^2}{2\sigma^2} \} \text{d} t \equiv G(\frac{x-\mu}{\sigma}) Fx​(x)=P(X≤x)=∫−∞x​2πσ2 ​1​exp{−2σ2(t−μ)2​}dt≡G(σx−μ​) 其中， G ( x ) = ∫ − ∞ x 1 2 π exp ⁡ { − y 2 2 } d y G(x) = \int_{-\infty}^{x} \frac{1}{2 \pi} \exp \{ -\frac{y^2}{2} \} \text{d} y G(x)=∫−∞x​2π1​exp{−2y2​}dy 是最常使用的表达式。

因为 f x ( x ) f_x(x) fx​(x)仅依赖两个参数 μ \mu μ和 σ 2 \sigma^2 σ2，常使用 x ∼ N ( μ , σ 2 ) \bm{x} \sim N(\mu,\sigma^2) x∼N(μ,σ2)来表达高斯概率密度函数，其中 ∼ \sim ∼ stands for “distributed as”。

标准正态分布的分布函数 Φ \bf{\Phi} Φ为: Φ = P ( X ≤ x ) = 1 2 π ∫ − ∞ x exp ⁡ { − t 2 2 } d t \mathbf{\Phi} = P(X \leq x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^x \exp \{ -\frac{t^2}{2} \} \text{d} t Φ=P(X≤x)=2π ​1​∫−∞x​exp{−2t2​}dt 令 X ∼ N ( μ , σ 2 ) X \sim \mathcal{N}(\mu,\sigma^2) X∼N(μ,σ2)，则 P ( x 1 < X < x 2 ) = Φ ( x 2 − μ σ ) − Φ ( x 1 − μ σ ) P(x_1−2σ2(x−μz​)2+(y−μy​)2​}. Noting that Z = X + i Y Z=X+iY Z=X+iY, the probability density function can be represented in terms of z z z: p z = 1 2 π σ 2 exp ⁡ { − ( z − μ z ) 2 2 σ 2 } . p_{z}=\frac{1}{2 \pi \textcolor{red}{\sigma^{2}}} \exp \left\{-\frac{\left(z-\textcolor{red}{\mu_{z}}\right)^{2}}{\textcolor{red}{2 \sigma^{2}}} \right\}. pz​=2πσ21​exp{−2σ2(z−μz​)2​}. p z = 1 π σ z 2 exp ⁡ { − ( z − μ z ) 2 σ z 2 } . p_{z}=\frac{1}{ \pi \textcolor{red}{\sigma_{z}^{2}}} \exp \left\{-\frac{\left(z-\textcolor{red}{\mu_{z}}\right)^{2}}{\textcolor{red}{ \sigma_{z}^{2}}} \right\}. pz​=πσz2​1​exp{−σz2​(z−μz​)2​}. 注意：复高斯随机变量的密度函数，分母无根号。

零均值循环对称负高斯随机变量 当 μ = μ x = μ y = 0 \mu=\mu_x=\mu_y=0 μ=μx​=μy​=0， Z Z Z称为零均值循环对称复高斯随机变量（Zero Mean Circle Symmetric Complex Gaussian, ZMCSCG）, σ 2 \sigma^2 σ2称为每个实数维度上的方差。 若 X ∼ C N ( 0 , 1 / 2 ) ,   Y ∼ C N ( 1 / 2 ) X \sim \mathcal{CN}(0,1/2), ~Y \sim \mathcal{CN}(1/2) X∼CN(0,1/2), Y∼CN(1/2)，则 Z ∼ C N ( 0 , 1 ) . Z\sim \mathcal{CN}(0,1). Z∼CN(0,1).

Q函数又称标准正态分布的右尾函数。 Q ( x ) = P ( X > x ) = ∫ x ∞ 1 2 π exp ⁡ { − t 2 2 } d t = 1 − Φ ( x ) . Q(x) =P(X>x) =\int_{x}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \exp \{ -\frac{t^2}{2} \} \text{d} t =1-\bf{\Phi}(x). Q(x)=P(X>x)=∫x∞​2π ​1​exp{−2t2​}dt=1−Φ(x).

正态函数的积分是一个非基本函数（即不是初等函数）, 称为误差函数（高斯误差函数，Gauss error function）。 e r f ( x ) = 2 π ∫ 0 x exp ⁡ { − t 2 } d t erf(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_{0}^{x} \exp \{-t^2 \} \text{d} t erf(x)=π ​2​∫0x​exp{−t2}dt

Q ( x ) Q(x) Q(x)与 e r f erf erf函数：

e r f c ( x ) = 2 π ∫ x ∞ exp ⁡ { − t 2 } d t = 1 − e r f ( x ) erfc(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_{x}^{\infty} \exp \{-t^2 \} \text{d} t = 1 - erf(x) erfc(x)=π ​2​∫x∞​exp{−t2}dt=1−erf(x) e r f ( x ) + e r f c ( x ) = 1 erf(x) + erfc(x) = 1 erf(x)+erfc(x)=1

Q ( x ) Q(x) Q(x)与 e r f c erfc erfc函数：

如果随机变量 x \bm{x} x的概率密度函数是： f x ( x ) = { x σ 2 exp ⁡ { − x 2 2 σ 2 } , x ≥ 0 0 , x < 0 f_x(x) = \begin{cases} \frac{x}{\sigma^2} \exp\{ - \frac{x^2}{2\sigma^2} \},& x \geq 0 \\ \qquad 0, & x−2σ2x2​},0,​x≥0xΓ(m)2​(Ωm​)mx2m−1exp{−Ωmx2​}, 0,​x>0x≤0​ 与瑞丽分布相比，Nakagami- m m m分布在模拟通信理论中衰落信道时具有更大的灵活性。在上式中， m = 1 m=1 m=1对应瑞丽分布，并且通过调整 m m m可控制密度函数的拖尾。如下图所示，当 m < 1 m1 m>1，拖尾衰减比瑞利分布快。

若随机变量 x \bm{x} x的密度函数在区间 ( a , b ) (a,b) (a,b)是常数， − ∞ < a < b < + ∞ -\infty2Γ(n/2)1​(2x​)2n​−1e−2x​,0,​x>0x≤0​ 其中 Γ ( α ) = ∫ 0 + ∞ x α − 1 e − x d x \Gamma(\alpha) = \int_{0}^{+\infty} x^{\alpha-1} e^{-x} \text{d} x Γ(α)=∫0+∞​xα−1e−xdx.

E ( X 2 ) = n , D ( X 2 ) = 2 n E(X^2)=n, D(X^2)=2n E(X2)=n,D(X2)=2n

卡方分布是由正态分布构造而成的一个新的分布，当自由度 n n n很大时，卡方分布近似为正态分布。

n n n为2时，分布的CDF为： F ( x ) = ∫ − ∞ x exp ⁡ ( − 1 2 t ) d t F(x) = \int_{-\infty}^{x} \exp (- \frac{1}{2}t) \text{d} t F(x)=∫−∞x​exp(−21​t)dt