概率论 | 您所在的位置:网站首页 › 概率论离散型分布函数表达式 › 概率论 |
文章目录
4.3.1 连续型随机变量正态(高斯)分布图形特征性质Independent Gaussian
±
\pm
± GaussianGaussian
×
/
÷
\times/ \div
×/÷ Gaussian
Z
=
X
1
2
+
X
2
2
+
.
.
.
+
X
n
2
Z = X_1^2 + X_2^2 +...+ X_n^2
Z=X12+X22+...+Xn2
复正态(高斯)分布与正态分布相关的函数1. Q函数
2. 误差函数(Error Function)3. 互补误差函数(Complementary Error Function)
瑞丽(Rayleigh)分布Nakagami-m分布均匀分布卡方分布(Chi-Square Distribution)
4.3.1 连续型随机变量
正态(高斯)分布
正态/高斯分布式最常用的分布之一。如果一个随机变量的概率密度函数为: f x ( x ) = 1 2 π σ 2 exp { − ( x − μ ) 2 σ 2 } , f_x(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^2}} \exp \{ \frac{-(x-\mu)}{2\sigma^2} \}, fx(x)=2πσ2 1exp{2σ2−(x−μ)}, 这是关于参数 μ \mu μ(均值)为钟型的曲线。 图形特征 在 x = μ x=\mu x=μ处,取得最大值中间呈现凸形,两旁凹陷它的分布函数由下面的变上限积分给出: F x ( x ) = P ( X ≤ x ) = ∫ − ∞ x 1 2 π σ 2 exp { − ( t − μ ) 2 2 σ 2 } d t ≡ G ( x − μ σ ) F_x(x) = P(X\leq x)=\int_{-\infty}^{x} \frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^2}} \exp \{ - \frac{(t-\mu)^2}{2\sigma^2} \} \text{d} t \equiv G(\frac{x-\mu}{\sigma}) Fx(x)=P(X≤x)=∫−∞x2πσ2 1exp{−2σ2(t−μ)2}dt≡G(σx−μ) 其中, G ( x ) = ∫ − ∞ x 1 2 π exp { − y 2 2 } d y G(x) = \int_{-\infty}^{x} \frac{1}{2 \pi} \exp \{ -\frac{y^2}{2} \} \text{d} y G(x)=∫−∞x2π1exp{−2y2}dy 是最常使用的表达式。 因为 f x ( x ) f_x(x) fx(x)仅依赖两个参数 μ \mu μ和 σ 2 \sigma^2 σ2,常使用 x ∼ N ( μ , σ 2 ) \bm{x} \sim N(\mu,\sigma^2) x∼N(μ,σ2)来表达高斯概率密度函数,其中 ∼ \sim ∼ stands for “distributed as”。 标准正态分布的分布函数 Φ \bf{\Phi} Φ为: Φ = P ( X ≤ x ) = 1 2 π ∫ − ∞ x exp { − t 2 2 } d t \mathbf{\Phi} = P(X \leq x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^x \exp \{ -\frac{t^2}{2} \} \text{d} t Φ=P(X≤x)=2π 1∫−∞xexp{−2t2}dt 令 X ∼ N ( μ , σ 2 ) X \sim \mathcal{N}(\mu,\sigma^2) X∼N(μ,σ2),则 P ( x 1 < X < x 2 ) = Φ ( x 2 − μ σ ) − Φ ( x 1 − μ σ ) P(x_1−2σ2(x−μz)2+(y−μy)2}. Noting that Z = X + i Y Z=X+iY Z=X+iY, the probability density function can be represented in terms of z z z: p z = 1 2 π σ 2 exp { − ( z − μ z ) 2 2 σ 2 } . p_{z}=\frac{1}{2 \pi \textcolor{red}{\sigma^{2}}} \exp \left\{-\frac{\left(z-\textcolor{red}{\mu_{z}}\right)^{2}}{\textcolor{red}{2 \sigma^{2}}} \right\}. pz=2πσ21exp{−2σ2(z−μz)2}. p z = 1 π σ z 2 exp { − ( z − μ z ) 2 σ z 2 } . p_{z}=\frac{1}{ \pi \textcolor{red}{\sigma_{z}^{2}}} \exp \left\{-\frac{\left(z-\textcolor{red}{\mu_{z}}\right)^{2}}{\textcolor{red}{ \sigma_{z}^{2}}} \right\}. pz=πσz21exp{−σz2(z−μz)2}. 注意:复高斯随机变量的密度函数,分母无根号。 零均值循环对称负高斯随机变量 当 μ = μ x = μ y = 0 \mu=\mu_x=\mu_y=0 μ=μx=μy=0, Z Z Z称为零均值循环对称复高斯随机变量(Zero Mean Circle Symmetric Complex Gaussian, ZMCSCG), σ 2 \sigma^2 σ2称为每个实数维度上的方差。 若 X ∼ C N ( 0 , 1 / 2 ) , Y ∼ C N ( 1 / 2 ) X \sim \mathcal{CN}(0,1/2), ~Y \sim \mathcal{CN}(1/2) X∼CN(0,1/2), Y∼CN(1/2),则 Z ∼ C N ( 0 , 1 ) . Z\sim \mathcal{CN}(0,1). Z∼CN(0,1). 与正态分布相关的函数 1. Q函数Q函数又称标准正态分布的右尾函数。 Q ( x ) = P ( X > x ) = ∫ x ∞ 1 2 π exp { − t 2 2 } d t = 1 − Φ ( x ) . Q(x) =P(X>x) =\int_{x}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \exp \{ -\frac{t^2}{2} \} \text{d} t =1-\bf{\Phi}(x). Q(x)=P(X>x)=∫x∞2π 1exp{−2t2}dt=1−Φ(x). Q ( x ) Q(x) Q(x)与标准正态分布函数: Q ( x ) = 1 − Φ ( x ) Q(x) = 1-\mathbf{\Phi}(x) Q(x)=1−Φ(x) 2. 误差函数(Error Function)正态函数的积分是一个非基本函数(即不是初等函数), 称为误差函数(高斯误差函数,Gauss error function)。 e r f ( x ) = 2 π ∫ 0 x exp { − t 2 } d t erf(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_{0}^{x} \exp \{-t^2 \} \text{d} t erf(x)=π 2∫0xexp{−t2}dt Q ( x ) Q(x) Q(x)与 e r f erf erf函数: e r f ( x ) = 1 − 2 Q ( 2 x ) {erf}(x)=1-2 Q(\sqrt{2} x) erf(x)=1−2Q(2 x) 3. 互补误差函数(Complementary Error Function)e r f c ( x ) = 2 π ∫ x ∞ exp { − t 2 } d t = 1 − e r f ( x ) erfc(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_{x}^{\infty} \exp \{-t^2 \} \text{d} t = 1 - erf(x) erfc(x)=π 2∫x∞exp{−t2}dt=1−erf(x) e r f ( x ) + e r f c ( x ) = 1 erf(x) + erfc(x) = 1 erf(x)+erfc(x)=1 Q ( x ) Q(x) Q(x)与 e r f c erfc erfc函数: Q ( x ) = 1 2 e r f c ( x / 2 ) Q(x) = \frac{1}{2} erfc(x/\sqrt{2}) Q(x)=21erfc(x/2 ); 2 Q ( 2 x ) = e r f c ( x ) 2Q(\sqrt{2}x) = erfc(x) 2Q(2 x)=erfc(x); 瑞丽(Rayleigh)分布如果随机变量 x \bm{x} x的概率密度函数是: f x ( x ) = { x σ 2 exp { − x 2 2 σ 2 } , x ≥ 0 0 , x < 0 f_x(x) = \begin{cases} \frac{x}{\sigma^2} \exp\{ - \frac{x^2}{2\sigma^2} \},& x \geq 0 \\ \qquad 0, & x−2σ2x2},0,x≥0xΓ(m)2(Ωm)mx2m−1exp{−Ωmx2}, 0,x>0x≤0 与瑞丽分布相比,Nakagami- m m m分布在模拟通信理论中衰落信道时具有更大的灵活性。在上式中, m = 1 m=1 m=1对应瑞丽分布,并且通过调整 m m m可控制密度函数的拖尾。如下图所示,当 m < 1 m1 m>1,拖尾衰减比瑞利分布快。 均匀分布若随机变量 x \bm{x} x的密度函数在区间 ( a , b ) (a,b) (a,b)是常数, − ∞ < a < b < + ∞ -\infty2Γ(n/2)1(2x)2n−1e−2x,0,x>0x≤0 其中 Γ ( α ) = ∫ 0 + ∞ x α − 1 e − x d x \Gamma(\alpha) = \int_{0}^{+\infty} x^{\alpha-1} e^{-x} \text{d} x Γ(α)=∫0+∞xα−1e−xdx. E ( X 2 ) = n , D ( X 2 ) = 2 n E(X^2)=n, D(X^2)=2n E(X2)=n,D(X2)=2n 卡方分布是由正态分布构造而成的一个新的分布,当自由度 n n n很大时,卡方分布近似为正态分布。 n n n为2时,分布的CDF为: F ( x ) = ∫ − ∞ x exp ( − 1 2 t ) d t F(x) = \int_{-\infty}^{x} \exp (- \frac{1}{2}t) \text{d} t F(x)=∫−∞xexp(−21t)dt |
CopyRight 2018-2019 实验室设备网 版权所有 |