微分几何个人学习小结

以下内容总结自陈省身的《微分几何讲义》

基本定义：若$M$为(第二可数的)Hausdorff空间 (T2空间)，$M$的每个元素若都有某个开邻域$U$同胚 于欧式空间$\mathbb{E}^{m}$的开集，我们定义$M$为一个$m$维流形(或拓扑流形)，所以拓扑流形都是有限维的。

为了定义并且研究更一般的空间，这种对流形的定义是很自然的。我们知道欧式空间是有限维的，所以我们尚未定义无限维的任何流形。无限维流形的定义涉及泛函分析。

这个定义诱使我们思考一个有趣的问题，若我们仅仅要求$M$的每个元素都有某个邻域同胚于某个欧式空间的开集，我们能如何确保$M$依旧是一个流形？显然首先我们需要确保$M$是联通的。

根据这个定义我们能很自然的定义$M$的每个元素的某个邻域上的坐标。这种自然定义出的坐标我们自然的称为局部坐标。$M$中的开集$U$和相应的同胚$\varphi _U:U\rightarrow \mathbb{R}^{m}$组成的有序对$(U,\varphi _U)$定义为一个坐标卡 。

若有两个坐标卡$(U,\varphi _U)$，$(V,\varphi _V)$，$U\cap V\neq \{\}$，我们就能很自然的建立$U\cap V$上的一对同胚。倘若这个同胚和其逆同胚都是r阶偏导存在且连续的，简称$C^{r}$的，我们说这两个坐标卡是$C^{r}$-相容的。显然若$U\cap V=\{\}$，那么$U$和$V$相容。注意，根据定义，空函数定义域的每个点都是可微的，所以空函数是可微的。

给出一列坐标卡，若(1)这列坐标卡对应的开集是全集的开覆盖；(2)坐标卡两两$C^{r}$-相容；(3)$C^{r}$-相容下极大。那么我们说这列坐标卡是一个$C^{r}$微分结构，显然条件(1)是多余的。

若在$M$上给定了一个$C^{r}$微分结构，显然$M$成了一个流形，我们称为$C^{r}$微分流形。注意到由于要包含尽可能多的$C^{r}$-相容坐标卡，微分流形的元素个数将会不可避免的多。但是显然我们只要给一个相容坐标卡覆盖，考虑其唯一生成的微分流形即可，从而不需要通过描述微分结构的每个元素确定这个微分结构，我们描述开集的时候也应用了一样的思想。无穷可微记为$C^{\infty}$，解析记为$C^{\omega}$，我们相应的称为光滑流形和解析流形。我们这里关心光滑流形。

我们来证明P4注记1提出的：每个坐标卡覆盖延拓出的极大结构是唯一的。给定$X$-相容的坐标卡覆盖\(\mathfrak{A}'\)，若坐标卡$A$，$B$各自与\(\mathfrak{A}'\)有$X$-相容，我们来证明$A$，$B$是$X$-相容的

证明：考虑坐标卡$A$，$B$给出的同胚$f$由于在每个\(\mathfrak{A}'\)的开集的限制上，$f$是两个$X$性同胚的复合，从而依旧是$X$性同胚从而$f$是$X$性同胚从而$A$，$B$是$X$-相容的从而我们能延拓出唯一的微分结构

证明虽然简单，但是真正起关键作用的是性质$X$的复合不变性，以及定义域拼合下的不变性。

每个欧式空间上，我们取同胚为$id$，能得到一个平凡的微分结构，我们称为欧式空间的标准微分结构。神奇的是$\mathbb{R}^4$上有不可数个微分结构。不超过四维的拓扑流形上的微分结构不会不唯一。对于球面$S^n$，我们可以取2个开的球面覆盖住作为标准的微分结构。某些拓扑流形不是微分流形。