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第二章塞瓦定理及应用
来源:用户分享 时间:2023/3/13 19:56:38 本文由![]() ![]()
资料收集于网络,如有侵权 请联系网站删除只供学习与交流 第二章塞瓦定理及应用 【基础知识】 塞瓦定理 设A,B,C分别是 △ ABC的三边BC, CA,AB或其延长线上的点, 若AA,BB,CC 三线平行或共点,则_BA 竺1 . AC BA C B ① 证明 如图2-1( b)、( c),若AA , BB , CC交于一点P ,则过A作BC的平行线,分别交BB , CC EA 的延长线于D , E, 得匹 AC_ BA AD ' C B BC (b)
又由 BA竺拄,有型匹 AD PA EA AC EA 从而_BA皂竺 AD BC EA AC BA CB EA AD BC 若AA , BB , CC三线平行,可类似证明(略) 注 (1)对于图2-1 ( b )、( c)也有如下面积证法: SA PAB SA PBC SA PCA 〔 即证 由: BA CB AC 2345 AC B A C B A PCA SA PAB SAPBC 上述两式相乘,得_BA CB些1 . AC BA C B
其次,由共点情形的塞瓦定理推证梅涅劳斯定理. 如图2-2,设A , B , C分别为 △ ABC的三边BC , CA , AB所在直线上的点,且 A , B , C三 点共线?令直线 BB与CC交于点X ,直线CC与AA交于点Y ,直线AA与BB交于点Z . BC AP AC CA PA C B
A B CB AP BC B A PA 2 点P常称为塞瓦点. 3 共点情形的塞瓦定理与梅涅劳斯定理可以互相推证. 首先,由梅涅劳斯定理推证共点情形的塞瓦定理. 如图2-1 ( b )、( c),分别对△ ABA及截线CPC,对△ AAC及截线B PB应用梅涅劳斯定理有 只供学习与交流
资料收集于网络,如有侵权 请联系网站删除只供学习与交流 分别视点C , A,
B , C , A , B为塞瓦点,应用塞瓦定
即
理, CA BX 1 对△ BCB及点 C (直线 BA, CX , BA的交点),有BA AC AB XB AB C Y 对△ CAC及点 A (直线 CB , AY, CB的交点),有CB BC BC YC
1 . 对△ ABA及点 B (直线 AC , BZ ,
AC的交点),有AC BC AZ 1 C B CA ZA
1 对△ BBC及点 C (直线 BA , BA, CX的交点),有BX BA C A . XB AC AB
对△ CCA及点 A (直线 CB ,CB ,
AY的交点),有CY YC C B AB 1 BA BC
对△ AAB及点 B (直线 AC ,AC,
BZ的交点),有AZ AC BC 1 ZA CB CA
上述八式相乘,有
BA CB AC
2 1 .
AC BA C B 故 BA CB AC AC BA C B 塞瓦定理的逆定理 BA CB AC 设A , B , C分别是△ ABC的三边BC , 1 , ② CA, AB或其延长线上的点,若 AC BA C B 则AA , BB , CC三直线共点或三直线互相平行. 证明若AA与BB交于点P,设CP与AB的交点为C1,则由塞瓦定理,有 BA CB AC1 AC1 AC ,即 AC1 AC ,亦即 AG AC , 1,又已知有 BA CB 也 1 ,由此得 AC BA C1B
AC BA GB
C1B
C B AB AB 故G 与C重合,从而 AA , BB , CC 三线共点. 若 AA II BB,贝U CB CB 代入已知条件,有 AC - B A BA CB AA II BB II CC .
AC 由此知CC II AA,故 CB
上述两定理可合写为: 设A , B , C分别是△ ABC的BC , CA, AB所在直线上的点,则三直线AA , BB , CC平行或共点的充要条件是 旦A CB 也 1 . AC BA C B ③ 只供学习与交流
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第一角元形式的塞瓦定理 设A , B , C分别是 三直线AA , BB , CC平行或共点的充要条件是 △ ABC的三边 BC , CA , AB所在直线上的点,则 sin Z CBB sin Z BAA sin Z ACC 1 ? sin Z B BA sin Z A AC sin Z C CB CB BC sin / CBB AC AC sin z CCCB,三式相乘, AB sin Z BAA ABA 证明由_BA 氐 'BA AB sin / B BA CB S AC ^ AAC AC sin Z AAC 再运用塞瓦定理及其逆定理,知结论成立. 第二角元形的塞瓦定理 设A , B , C 分别△ ABC的三边BC , CA, AB所在直线上的点, 0是不 旦 在厶ABC的三边所在直线上的点,贝U sin AA,BB,CC平行或共点的充要条件疋 Z BOA sin Z AOC sin Z COB sin Z AOC sin Z COB sin Z BOA 证明注意到塞瓦定理及其 逆定理,有 1 BA CB AC S^ BOA S^ COB AC BA CB BOA AOC SS AOC ^ B OA ^ C OB
CO sin z COB AO sin Z AOC BO sin Z BOA CO sin Z AOC AO sin Z BOA BO sinZ COB 由此即证得结论. 1 ?特别要注注 在上述各定理中,若米用有向线段或有向角,则①、②、③、④、⑤式的右端仍为 意 的是三边所在直线上的点或者两点在边的延长线上,或者没有点在边的延长线上?④、⑤式中的角也 可按①式的对应线段记忆. 推论 设A1,吕,G,分别是△ ABC的外接圆三段弧 BC , CA , AB上的点,贝y AA , BB1 , CC1共 点的充要条件是 BA CB1 AC1 1 . AC Bi A C1B
证明 如图2-3,设厶ABC的外接圆半径为 R, AA交BC于A , B^交CA于B , CC1交AB于C .由
C1, B , A1, C , B1 六点共圆及正弦定理,有BC 2R sinZ BAA1 2R sinZ AAC A sin Z BAA sin Z A AC B 1 B A A1 CB1 sin Z CBB AC1 sin Z ACC 同理, C1B sin Z CCB B1A sin Z B BA 三式相乘,并应用第一角元形式的塞瓦定理即证. 为了使读者熟练地应用塞瓦定理,针对图 2-4 们写中的点 A、B、C、D、E、 出如下式子: F ,将其作为塞瓦点,我 只供学习与交流 1 搜索更多关于: 第二章塞瓦定理及应用 的文档 第二章塞瓦定理及应用.doc 将本文的Word文档下载到电脑,方便复制、编辑、收藏和打印 下载这篇word文档 本文链接:https://www.cmpx.com.cn/c2yvpc1qzln9vfqx3d4pq7px008twst015e8_1.html(转载请注明文章来源) 相关推荐: 第二章塞瓦定理及应用计算机网络教程第五版谢希仁课后答案 2021年中考英语模拟试卷(含答案)《语言与文化》之读书心得.华南农业大学离散数学期末考试2011试卷及答案2020-2021年考研英语真题试卷及解析工贸企业使用乙炔气瓶安全规则正式样本_1国家教师资格考试专用教材·保教知识与能力(幼儿园)基础掌握篇-游戏活动的指导【圣微观经济学平狄克第八版课后答案2020年疫情党小组会议最新遵义医科大学考研难度考研分数线报录比综合分析2020年疫情党小组会议计算机集成制造系统介绍少儿编程一节课一般多少钱? - 图文陕西省水泥企业名录2016最新449家101教育PPT授课功能使用教程电脑族的皮肤如何保养.doc2020-2021学年高考总复习数学(理)六省联考模拟试题及答案解析会议决议范文_行政会议决议写作范例超声波的基本知识--继续教育试卷 |
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