实分析中重要定理证明(一)

定理 若 E E 为RdRd上的可测子集，那么，对所有 ϵ>0 ϵ > 0 : (1)存在开集 O O ,E⊂OE⊂O,且 m(O−E)≤ϵ m ( O − E ) ≤ ϵ ; (2)存在闭集 F F ,FF包含于 E E ，且m(E−F)≤ϵm(E−F)≤ϵ； (3)若 m(E) m ( E ) 有限，存在一个紧集 K K ,K⊂EK⊂E， m(E−K)≤ϵ m ( E − K ) ≤ ϵ ； (4)若 m(E) m ( E ) 有限，存在一个有限并 F=⋃Nj=1Qj F = ⋃ j = 1 N Q j , Qj Q j 为闭方体，使得 m(E△F)≤ϵ m ( E △ F ) ≤ ϵ ；

证明： (1) 由可测集定义，对所有 ϵ>0 ϵ > 0 ,存在开集 O O ,使得E⊂OE⊂O，且 m∗(O−E)≤ϵ m ∗ ( O − E ) ≤ ϵ ,又 E E 为可测集，OO为可测集（因为开集是可测集),所以 m(O−E)=m∗(O−E)≤ϵ m ( O − E ) = m ∗ ( O − E ) ≤ ϵ (2) 因为 F F 是闭集，所以FcFc是开集，利用（1）结论，存在开集 O O ,Fc⊂O,m(O−Fc)≤ϵ,Oc−F⊂O−FcFc⊂O,m(O−Fc)≤ϵ,Oc−F⊂O−Fc,令 E=Oc E = O c ，所以 m(E−F)≤m(O−Fc)≤ϵ m ( E − F ) ≤ m ( O − F c ) ≤ ϵ (3) 由(2), ∀ϵ>0 ∀ ϵ > 0 ,可以找到一个闭集 F F ,F⊂EF⊂E, m(E−F)≤ϵ2 m ( E − F ) ≤ ϵ 2 .然后解决有界的问题。对于每个 n n ,记BnBn为中心在原点，半径为 n n 的闭球。定义Kn=Bn⋂FKn=Bn⋂F。因为 Bn,F B n , F 为闭集，所以 Kn K n 为闭集，又 Kn⊂Bn K n ⊂ B n 有界 ，所以 Kn K n 为紧集。又 Kn↗F K n ↗ F ，所以 E−Kn↘E−F E − K n ↘ E − F 。又 m(E)m(E−KN)−m(E−F)≤ϵ2m(E−KN)−m(E−F)≤ϵ2，所以 m(E−KN)≤ϵ m ( E − K N ) ≤ ϵ 。 (4) 根据外测度定义， ∀ϵ>0 ∀ ϵ > 0 ,存在闭方体簇 {Qj}∞j=1 { Q j } j = 1 ∞ ，使E ⊂⋃∞j=1Qj ⊂ ⋃ j = 1 ∞ Q j ,且 ∑∞j=1|Qj|≤m(E)+ϵ2 ∑ j = 1 ∞ | Q j | ≤ m ( E ) + ϵ 2 .因为 m(E)0 N > 0 ，使 ∑∞j=N+1|Qj|