定理 若
E
E
为RdRd上的可测子集,那么,对所有
ϵ>0
ϵ
>
0
: (1)存在开集
O
O
,E⊂OE⊂O,且
m(O−E)≤ϵ
m
(
O
−
E
)
≤
ϵ
; (2)存在闭集
F
F
,FF包含于
E
E
,且m(E−F)≤ϵm(E−F)≤ϵ; (3)若
m(E)
m
(
E
)
有限,存在一个紧集
K
K
,K⊂EK⊂E,
m(E−K)≤ϵ
m
(
E
−
K
)
≤
ϵ
; (4)若
m(E)
m
(
E
)
有限,存在一个有限并
F=⋃Nj=1Qj
F
=
⋃
j
=
1
N
Q
j
,
Qj
Q
j
为闭方体,使得
m(E△F)≤ϵ
m
(
E
△
F
)
≤
ϵ
;
证明: (1) 由可测集定义,对所有
ϵ>0
ϵ
>
0
,存在开集
O
O
,使得E⊂OE⊂O,且
m∗(O−E)≤ϵ
m
∗
(
O
−
E
)
≤
ϵ
,又
E
E
为可测集,OO为可测集(因为开集是可测集),所以
m(O−E)=m∗(O−E)≤ϵ
m
(
O
−
E
)
=
m
∗
(
O
−
E
)
≤
ϵ
(2) 因为
F
F
是闭集,所以FcFc是开集,利用(1)结论,存在开集
O
O
,Fc⊂O,m(O−Fc)≤ϵ,Oc−F⊂O−FcFc⊂O,m(O−Fc)≤ϵ,Oc−F⊂O−Fc,令
E=Oc
E
=
O
c
,所以
m(E−F)≤m(O−Fc)≤ϵ
m
(
E
−
F
)
≤
m
(
O
−
F
c
)
≤
ϵ
(3) 由(2),
∀ϵ>0
∀
ϵ
>
0
,可以找到一个闭集
F
F
,F⊂EF⊂E,
m(E−F)≤ϵ2
m
(
E
−
F
)
≤
ϵ
2
.然后解决有界的问题。对于每个
n
n
,记BnBn为中心在原点,半径为
n
n
的闭球。定义Kn=Bn⋂FKn=Bn⋂F。因为
Bn,F
B
n
,
F
为闭集,所以
Kn
K
n
为闭集,又
Kn⊂Bn
K
n
⊂
B
n
有界 ,所以
Kn
K
n
为紧集。又
Kn↗F
K
n
↗
F
,所以
E−Kn↘E−F
E
−
K
n
↘
E
−
F
。又
m(E)m(E−KN)−m(E−F)≤ϵ2m(E−KN)−m(E−F)≤ϵ2,所以
m(E−KN)≤ϵ
m
(
E
−
K
N
)
≤
ϵ
。 (4) 根据外测度定义,
∀ϵ>0
∀
ϵ
>
0
,存在闭方体簇
{Qj}∞j=1
{
Q
j
}
j
=
1
∞
,使E
⊂⋃∞j=1Qj
⊂
⋃
j
=
1
∞
Q
j
,且
∑∞j=1|Qj|≤m(E)+ϵ2
∑
j
=
1
∞
|
Q
j
|
≤
m
(
E
)
+
ϵ
2
.因为
m(E)0
N
>
0
,使
∑∞j=N+1|Qj| |