高数:第七章（同济大学第七版）

一、微分方程的基本概念

1.凡表示未知函数，未知函数的导数与自变量之间关系的方程叫做微分方程。 2.最高阶导数的阶数叫做微分方程的阶。 3.通解：微分方程的解中含有任意常数，且常数个数与方程阶数相同。

二、可分离变量微分方程 1.可分离变量微分方程：含x，y的项，可以分别写在等号两侧，然后进行反导。

三、齐次方程 1.一阶微分方程： d y d x \frac{dy}{dx} dxdy​=φ( y x \frac{y}{x} xy​)，或者可化为这种形式的方程称为齐次方程。 设u= y x \frac{y}{x} xy​，所以说y=ux, d y d x \frac{dy}{dx} dxdy​=u+x( d u d x \frac{du}{dx} dxdu​) 带入原函数可计算 最后再将u用x,y替换回来。

四、一阶线性微分方程 1.一阶线性微分方程： d y d x \frac{dy}{dx} dxdy​+ P x P_x Px​y= Q x Q_x Qx​ 若 Q x Q_x Qx​=0,则方程为齐次的，反之为非齐次的。 2.非齐次方程求解： 　　　①先求出对应齐次线性方程的解。 　　　②然后设常数项C为 u x u_x ux​。 　　　③然后将u代入y，求出y’。 　　　④将y与y’代入题方程中变换得出u。 　　　⑤再将u代入齐次方程解中得出非其次方程解。

五、可降阶的高阶微分方程 1.y(n)=f(x)型： 此类型没什么特殊的，一阶一阶求积分即可。

2.y’’=f(x,y’)型（不含y）： 设y’=P ∴ \therefore ∴y’’=P’ 方程变成了一阶微分方程，求解，再进行替换即可。

3.y’’=f(y,y’)型（不含x）： 设y’=P ∴ \therefore ∴y’’=P d P d y \frac{dP}{dy} dydP​ 代入原方程，积分…即可

六、高阶线性微分方程 二阶齐次线性方程：y’’+P(x)y’+Q(x)y=0 定理一：如果函数 y 1 y_1 y1​(x)与 y 2 y_2 y2​(x)是该方程的解，那么 　　　　y= C 1 C_1 C1​ y 1 y_1 y1​(x)+ C 2 C_2 C2​ y 2 y_2 y2​(x) 　　　　也是其解。 　　　　 定理二：如果 y 1 y_1 y1​(x)与 y 2 y_2 y2​(x)是方程的两个线性无关的特解，那么 　　　　y= C 1 C_1 C1​ y 1 y_1 y1​(x)+ C 2 C_2 C2​ y 2 y_2 y2​(x) 　　　　也是方程通解。 　　　　 定理三：设y*是二阶非齐次线性方程y’’+P(x)y’+Q(x)y=f(x)的一个特解 　　　Y（x）是对应齐次方程的通解，则y=Y(x)+y*(x) 　　　也是二阶非齐次线性方程的通解。 　　　 定理四：设非其次线性方程右端f(x)是两个函数之和，即 　　　y’’+P(x)y’+Q(x)y= f 1 f_1 f1​(x)+ f 2 f_2 f2​(x) 　　　而 y 1 y_1 y1​*(x)与 y 2 y_2 y2​*(x)分别是方程 　　　y’’+P(x)y’+Q(x)y= f 1 f_1 f1​(x)与 　　　y’’+P(x)y’+Q(x)y= f 2 f_2 f2​(x)的特解 　　　则 y 1 y_1 y1​*(x)+ y 2 y_2 y2​*(x)是原方程的特解

七、常系数齐次线性微分方程 1.对应y=0,y’=r,y’’=r2

第八章：常系数非齐次线性微分方程 一般形式：y’’+py’+qy=f(x) 1.f(x)=eλx P x P_x Px​(x)型：

（i）如果λ不是特征方程r2+pr+q=0的根，即λ2+pr+q≠0，则设 R m R_m Rm​(x)= b 0 b_0 b0​ xm + b 1 b_1 b1​ xm-1 + … + b m b_m bm​ − _- −​ 1 _1 1​ x + b m b_m bm​ 　 　　(ii)如果λ是特征方程得单根，即λ2+pr+q=0,但2λ+p≠0，则设R(x)=x R m R_m Rm​(x) [用同样的方法确定 R m R_m Rm​(x)的系数 b i b_i bi​] 　　 　　(iii)如果λ是特征方程r2+pr+q=0的重根，即λ2+pr+q≠0，且2λ+p=0 ，则设R(x)= x 2 x^2 x2 R m R_m Rm​(x) [用同样的方法确定 R m R_m Rm​(x)的系数 b i b_i bi​]

综上: 　　如果f(x)=eλx P x P_x Px​(x),那么二阶常系数非齐次线性微分方程具有形如：y*= x k x^k xk R m ( x ) R_m(x) Rm​(x)eλx,其中k按是不是特征方程的解取值依次为0,1,2.

2. f(x)=eλx[ P l P_l Pl​(x) cos ⁡ ω \cos\omega cosωx+ Q n Q_n Qn​(x) sin ⁡ ω \sin\omega sinωx] 　直接结论： 　　设特解为：y*=xKeλx[ R m 1 R_m^1 Rm1​(x) cos ⁡ ω \cos\omega cosωx+ R m 2 R_m^2 Rm2​(x) sin ⁡ ω \sin\omega sinωx] 　　· 其中 R m 1 R_m^1 Rm1​(x)， R m 2 R_m^2 Rm2​(x)是m次多项式（ R m R_m Rm​(x)= b 0 b_0 b0​ xm + b 1 b_1 b1​ xm-1 + … + b m b_m bm​ − _- −​ 1 _1 1​ x + b m b_m bm​），m=max { l,n }.【l,n为三角函数前所跟x的多少次方】 　　· k按λ+ωi（或λ-ωi）不是特征方程的根，是特征方程的根依次取0或1 　　 求特解步骤： ①写出对应齐次方程。 ②变成特征方程。 ③计算λ或 { λ+ωi (λ-ωi) ｝是不是特征方程的根，设出特解y*。 ④计算出y’,y’'代入题中原方程。 ⑤待定系数法求出未知数，得出微分方程特解。 ⑥求通解的话，再加上对应齐次方程通解即可

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