梯度下降算法（Gradient Descent)的原理和实现步骤

绝大多数的机器学习模型都会有一个损失函数。比如常见的均方误差（Mean Squared Error)损失函数：

损失函数用来衡量机器学习模型的精确度。一般来说，损失函数的值越小，模型的精确度就越高。如果要提高机器学习模型的精确度，就需要尽可能降低损失函数的值。而降低损失函数的值，我们一般采用梯度下降这个方法。所以，梯度下降的目的，就是为了最小化损失函数。

寻找损失函数的最低点，就像我们在山谷里行走，希望找到山谷里最低的地方。那么如何寻找损失函数的最低点呢？在这里，我们使用了微积分里导数，通过求出函数导数的值，从而找到函数下降的方向或者是最低点（极值点）。

损失函数里一般有两种参数，一种是控制输入信号量的权重(Weight, 简称  ），另一种是调整函数与真实值距离的偏差（Bias，简称 b ）。我们所要做的工作，就是通过梯度下降方法，不断地调整权重  和偏差b，使得损失函数的值变得越来越小。

假设某个损失函数里，模型损失值  与权重 w 有下图这样的关系。实际模型里，可能会有多个权重  ，这里为了简单起见，举只有一个权重  的例子。权重  目前的位置是在A点。此时如果求出A点的梯度  ，便可以知道如果我们向右移动，可以使损失函数的值变得更小。

通过计算梯度，我们就可以知道  的移动方向，应该让 w 向右走而不是向左走，也可以知道什么时候会到达最低点（梯度为0的地方）。

上面的例子里只出现了一个权重  , 实际的项目里样本数据会有很多个。对于每一个样本数据，我们都可以求出一个权重的梯度。这个时候，我们需要把各个样本数据的权重梯度加起来，并求出它们的平均值，用这个平均值来作为样本整体的权重梯度。

现在知道了  需要前进的方向，接下来需要知道应该前进多少。这里我们用到学习率(Learning Rate)这个概念。通过学习率，可以计算前进的距离（步长）。

我们用  表示权重的初始值， w_i+1 表示更新后的权重值，用  表示学习率，则有：

在梯度下降中，我们会重复式子(2)多次，直至损失函数值收敛不变。

如果学习率 设置得过大，有可能我们会错过损失函数的最小值；如果设置得过小，可能我们要迭代式子(2)非常多次才能找到最小值，会耗费较多的时间。因此，在实际应用中，我们需要为学习率  设置一个合适的值。

上面讲解了对权重 值的优化过程，对于偏差 b ，我们也可以用相同的方式进行处理，这里就不再展开了。

for i = 0 to 训练数据的个数：

 做完上面的计算之后，我们开始执行下面的计算：

 重复上面的过程，直至损失函数收敛不变。

梯度下降法实现简单，当目标函数是凸函数时，梯度下降法的解是全局解。

缺点：

靠近极小值时收敛速度减慢，求解需要很多次的迭代；

一般情况下，其解不保证是全局最优解，梯度下降法的速度也未必是最快的。