怎样直观的推导电磁波？

以下文章来源于大学物理学 ，作者薛德堡

大学物理学.

细推物理须行乐，何用浮荣绊此身。

中学物理学过，空间中的变化的磁场和电场会相互激发，即所谓磁生电，电生磁。

那么，这种变化的电磁场在空间中移动会产生什么后果呢？

很多人脱口而出——电磁波！

对的！但问题是，波不应该是某种振动在空间中的传播吗？

例如，声波就是机械振动在空气中的传播。它的振源是一个位置作周期变化的质点，它通过弹力带动周围的空气质元振动，这种振动的传播就形成了声波。

简言之，声波由振动的质点引起，描述质元的位移随时间和位置的变化。

类似的，你自然就会想到，电磁波由振动的电荷引起。

没错！那么振动的电荷引起什么在空间中传播呢？

既然电磁波可在真空中传播，真空中没有电荷，振源电荷带动的不可能是电荷吧？所以电磁波描述的不可能是电荷的位移，更不可能是电荷本身。

那是什么呢？只可能是电场和磁场！

是的，电荷激发电场，运动的电荷还激发磁场，它们就像围绕着电荷的两团云雾一样。电荷振动，这两团云雾自然就会跟着抖动起来，这一抖动，就像湖水被搅动一样，波浪就会向外传播。

你可能会有一个疑问：既然静止的电荷周围有电场，那它由近及远的传播算不算电磁波呢？

这个问题本身是矛盾的，既然你说静止电荷，那么它在那里不动已经很久了，它的电场早就传到了足够远的地方，然后维持不变了。它的电场就像平静的湖水一样，是静态的，所以没有电磁波。

你又想起：匀速运动的电荷的电场应该是不断变化的吧！这一变，就会导致由近及远的扰动，会导致电磁波吗？

答案是：不会！

解释这个答案之前，先摆两个很浅显的事实。

一根长长的弹簧，一端固定，现在你匀速地拉或压它的另一端，你看到弹簧上会有波产生吗？当然不会，除非你用力反复拉和压，这时候纵波产生了。

一根绳子，一端固定在墙上，你手握另一端让其处于水平位置。若你匀速向上或向下，我敢肯定，不会有波沿着绳子传播，除非你上下抖动绳子，这时候横波产生了。

所以，要产生波，必须使相应的物理量在某个方向上有分量，而且是来回往复地变化量。对纵波来说，这个变化量沿着波的传播方向；对横波来说，这个变化量沿着垂直于波的方向。

什么是波的方向？就是从振源指向波所传到的地点的方向。对振动的电荷来说，它就是从电荷指向四面八方的任意一个方向。若以电荷为原点，那么任意径向就是波线方向，与之垂直即为横向。

不知道什么叫径向和横向？只要是从原点出发的直线就代表径向，曲线就是非径向。与径向垂直的就是横向。

所以，电荷要激发电磁波，必须具有横向的电场分量。

好了，现在可以回答上面的问题了：为什么匀速运动的电荷不能发出电磁波？

因为电磁波是横波，要产生电磁波，必须有横向的电场分量。但计算表明，匀速运动的电荷只有径向的电场分量！

当然，对此回答，你大概有两点疑惑：

第一，为什么电磁波是横波？

第二，为什么匀速运动的电荷的电场只有径向分量？

第一点暂时先放一下，后面再来证明。

至于第二点，思路倒是不难。

想想这样一件事：一个人从你身边径直远离你而去，你看着他，他的轨迹当然是直线。但若你在原地转动，你会感觉他的轨迹变成螺线了。这两个轨迹之间如何相互变换？

答案是：坐标变换。

类似的，物理问题可在不同的参考系中描述，从一个参考系变到另一个参考系，也是用坐标变换。坐标变换有两种，低速运动时用伽利略变换，高速时用洛伦兹变换。

在电磁学里，无论速度多少，伽利略变换都不适用，必须用洛伦兹变换。

设某坐标系K'相对于K系沿它们公共的x轴正向运动，相对速度为

。根据洛伦兹变换，电场和磁场的变换关系为

其中

，

。

设K系原点处有一静止的电荷

，则在

处的电场和磁场分别为

先把它们写成直角坐标的形式，然后直接套用上述变换关系就可得到在K'系中的三个电场分量。计算结果表明，当电荷处于

系原点时

这说明在运动参考系中，电荷的电场也一样是沿径向的！

怎么样？这个结论乍一看觉得有点违反直觉吧！那只怪你的直觉是错的，匀速运动电荷和静止电荷的电场确实是沿着径向的。

到此，问题的第二点讲完了。

再来关注下匀速运动的电荷的电场和磁场的特点。

下面是一个静止电荷和一个水平匀速运动的电荷的电场的样子。

从上图可见，对匀速运动的电荷来说，电场始终沿着电荷的径向，说明电场的分布与电荷同步移动。对高速电荷，电场更集中于横向的面内。

至于磁场，根据前面的公式（低速时就是毕-萨定律）可知，它的场线是一系列与速度方向垂直的环。磁场沿电荷速度方向的分量始终为零，这说明它的分布也是与电荷同步移动。对高速电荷，磁场的环也更集中于横向的面内。

所以，匀速运动的电荷的电场和磁场就像被电荷带着一起飞似的，它们的分布完全与电荷的运动同步，并无任何波动的特点。

讲到这里，你可能会问有点疑惑：按你这讲的，稳恒电流的电场和磁场的分布是不是在移动，既然那电荷都在运动？

稳恒电流中，虽然载流子在非常缓慢的移动，但总体来讲，电荷的分布不变，所以电场分布的移动可以忽略。

注意一个细节，这里没说电场或磁场随着电荷移动，只说它们的分布随着电荷移动。

总之，匀速运动的电荷无法产生电场的横向分量，所以没有电磁波发出。要发出电磁波，只能靠加速运动的电荷了。因为加速的电荷的电场线会拐弯，如下图所示。这样的电场线才具有横向分量，满足电磁波产生的条件。

那么就来看看，加速电荷究竟是如何产生横向电场分量的？

设有静止于O点的电荷

，从0时刻开始，以加速度

沿

轴加速运动，加速时间为

，电荷到达Ｏ'点，接着电荷以速度

匀速运动。

考察匀速运动的某时刻

。

一方面，从0时刻发出的电场线已抵达半径为

的球面1。另一方面，从加速结束那一刻（

时刻）发出的电场抵达另一个半径为

的球面2，该球面的中心当然在Ｏ'点。

由于加速时间

远远小于

，Ｏ'和O几乎重合，所以球面1和2几乎是同心的，它们的半径差为

。

既然电荷加速所引起的影响最远只到球面1，故球面1之外的电场还是电荷原来静止时激发的电场的样子——沿O点的径向往外。

而加速结束后发出的电场最远只到球面2，又根据前面所讲，匀速运动电荷电场分布总是随着电荷一起移动的，故球面2以内的电场总是沿电荷的径向。

根据高斯定理，包围该电荷的任意闭合曲面穿过的电场线的条数相同，因此在球面1和2之间的过渡区的电场线是连续的。

这说明，球面1内的电场线必然与球面2外的电场线成对的连起来。但它们的方向又不同，所以在过渡区，电场线必然发生扭折，这就导致横向电场分量了！

随着电荷的运动，过渡区的半径越来越大，如下图所示。随着横向电场扩散到更远的地方，电磁波也随之传到那里了。

以上分析中，为了使问题简单，假设电荷只加速一小段时间，所以存在一个过渡区。导致电场线折扭。实际上，如果是振动的电荷，它始终在加速，它的电场线有无数个连续的过渡区，最终形成光滑的弯曲电场线。

例如当电荷绕着圆圈高速旋转时，会导致它的电场像下面这个样子。是不是隐隐的感觉到一种由近及远的波动效果？

不过，这个横向的电场到底有多大呢？

经过一个简单的计算（此处略）可知，离电荷

、与速度方向夹角为

处的电场的径向分量和横向分量分别为 你大概看到了，径向分量与匀速运动的电荷的电场一样，其实根据库伦定律和高斯定理就知道这一点。因此，电荷加速运动就为做一件事——产生横向电场，从而为产生电磁波提供条件。

横向电场分量随着距离反比例的衰减，但你看到没有，径向分量按距离的平方反比衰减，所以横向分量比径向分量衰减慢！这使得在足够远的地方，横向电场贡献了电磁波的主要成分。

说完了加速电荷的电场，再看它的磁场。

既然电场知道了，磁场就按照安培环路定理来计算了，由电荷加速运动导致的磁场沿着与横向电场成右手螺旋关系，沿着方位角的方向，经过计算（此处略）得其值为

看到了吧，和电场

垂直于径向一样，磁场

也垂直于径向，所以它俩都是横向的场分量。

波既然总是沿径向传的，那么横向电场和横向磁场都垂直于波线，因此电磁波必然是横波！电磁波本身就是横向场分量的振动在空间中的传播。

还有一个值得注意的事情是，无论电场还是磁场，它们的横向分量都包含因子

，所以电场和磁场的振动的幅度取决于电荷加速度的横向分量值，这也是电磁波的横波特性的反映。

你可能有点不耐烦了：扯半天，到现在还不见电磁波的影子啊！

不急不急，马上就来！

既然电磁波只需要考察横向场分量，现在把这俩分量写一起再看看，不再带下标了——反正离电荷较远处，只剩下它俩了。

看到没，它们的分子上都带了加速度

！

想一想，在简谐振动

中，质点的加速度满足什么规律？

这个简单，加速度是位置的二阶导数，即 令

得

所以，当一个电荷作简谐振动时，它的加速度也在作简谐振动嘛！

根据电场和磁场的表达式，既然它们都在分子上含有一个

，那它俩不也是作简谐振动吗？

没错！写出来就是 其中 看到了吧，它俩振动的节奏步调一致，也就是频率和相位都相同，并且它俩的幅度也满足一个特定的比例关系。

再考虑这种振动在空间中传播，抵达

处，它俩相位都滞后

其中

是波长——虽然这里没给出，但你想，既然是波，当然得有波长嘛！实际上，电磁波的波长是电场和磁场在空间变化的周期，也就是电场线和磁场线相邻的两个最密集或最稀疏的之间的间距。

在振动方程基础上考虑相位滞后，得波函数为 这就是加速电荷发出的电磁波。由于波的振幅与

成反比，所以是球面简谐波，但当

足够大时，球面波趋于平面波。

电磁波是横波，电场和磁场同频同相振动，其效果图如下。

再来个动图领会一下。

好了，咱已经成功的从加速电荷推导出电磁波了。

接下来的一个问题是，实际要发射电磁波，用什么方法让电荷一直听话地在那里简谐振动呢？

一个电荷的确不好操作，但成对的电荷就好搞了，阴阳搭配，干活不累嘛。一对等量异号电荷一分一合，不断循环，这就相当于每个电荷都在作简谐振动了！

用什么方法能达到这个效果？

它就是中学物理中学过的LC振荡电路，如下图所示

它的两个极板上带有等量异号电荷。由电路的知识可知，电荷量

随时间的变化规律为

其中

这就造成电荷在电路上来回振动，如果不断补充能量，电容器就会不断进行充放电，维持电荷长时间作简谐振动，这样就可以产生电磁波了。

不过，要想将电磁波传出去，上面地电路需要作两方面地改造。

一方面，电路振荡地频率要足够高，才能提供足够的能量将电磁波辐射到更远的地方。所以要极可能的减小

和

。

另一方面，电路应更加开放，这样才能更好的将电场合磁场分布到空间中去。

据此原则改造后，LC电路变成了天线，它相当于一个偶极子，它是发射电磁波的理想振源。

下图就是一个偶极子振源发射的电磁波的电场部分。

磁场线比电场线简单，它是处在与电场线垂直的平面（平行于偶极子的中垂面）内的一系列同心环，如下图中所示（点和叉）。

可以看到，磁场与电场都与该点的径向垂直，这正是横波所具有的特点。

类似于加速电荷的情形，当离偶极子非常远时，电磁波也趋于平面波简谐波。

有人可能想问：光不就是电磁波吗？为什么要费这么大劲去发射？

答曰：因为光不是典型的电磁波，不能满足实际应用的需要。

可见光的频率都高达数十万GHz，产生这么高频率的电磁波只能凭借天然的电磁波发射器——原子和分子，也是光源。并且，光源发光可没法用电磁学解释，必须用量子力学才行。

另外，上面得到电磁波的过程中，有一个细节问题需要提示一下：只有在远离电荷或偶极子的地方——波场区，才能得到上面那种电磁波的结果。因为靠近电荷的地方，需要考虑其他的电场和磁场，情况比较复杂。

还需要指出的一个问题是，我们假设电荷作简谐振动，才得出电磁波具有简谐波的形式。但实际上如果电荷作其他加速运动，电磁波可以是非简谐波。

但无论电荷怎样加速度运动，在远离电荷的波场区，电磁波最基本的组分必定都是简谐波。为什么呢？因为根据傅里叶定理，任何加速运动都可以看作是简谐振动的叠加（参看文章“为什么简谐振动是最基本的振动？”），这样的话，每个简谐振动所对应的电磁波必然还是简谐波。

当然，这一点也可以从麦克斯韦电磁波理论得到证实——下面马上就来了！

到此，本文的主要任务已经完成了。

但是，恐怕有人不满意，因为很多人听说了：电磁波是麦克斯韦方程组的结果！

没错，基于麦克斯韦方程组，我们可以很好的理解磁生电、电生磁的涵义，并从理论上推得电磁波。当年麦克斯韦就是这么干的。直到他去世后9年，德国的物理学家赫兹才通过实验证实了电磁波的存在。

Heinrich Hertz

其实，从麦克斯韦方程组推导电磁波，几乎是一个纯数学问题。只要你的数学足够好，考虑到自由空间没有电荷和电流，你可得到如下方程 这种二阶线性偏微分方程的解就是前面给出简谐波。但这并不是说电磁波只能是简谐波，因为简谐波的线性组合可以得到非简谐波，组合得到的非简谐波也满足上述方程。

根据麦克斯韦方程组，你能得到电磁波的所有性质和规律，它们构成了整个电磁波理论。

END

更多精彩文章请点击下面“蓝字”标题查看：

对麦克斯韦方程组拓展的评论王青教授：深入理解“拓展的麦克斯韦方程组”——2.0版王青教授：理解王中林院士“拓展的麦克斯韦方程组”“碰瓷”麦克斯韦：伽利略协变和洛伦兹协变电磁场论趣谈热点：运动介质洛伦兹协变电磁理论2021年《物理与工程》优秀论文、优秀审稿专家、优秀青年学者名单王青教授：源自苏格拉底的问题驱动式教育——在互动中共同学习和成长读后感：教育中的现实和远方王青教授：昨晚（6月9日），清华电动力学期末考试朱邦芬院士：“减负”误区及我国科学教育面临的挑战《物理与工程》2021年第5期目录乐永康：新冠肺炎疫情防控下美国物理实验教学及中美情况对比顾牡：对于重新制定的《非物理类理工学科大学物理课程教学基本要求》的认识和体会朱邦芬院士：从基础科学班到清华学堂物理班朱邦芬院士：对培养一流拔尖创新人才的思考李学潜教授：物理是一种文化李学潜教授：如何帮助物理系学生迈过从高三到大一这个坎穆良柱：物理课程思政教育的核心是科学认知能力培养穆良柱：什么是物理及物理文化？穆良柱：什么是ETA物理认知模型穆良柱：什么是ETA物理教学法吴国祯教授：我的国外研究生经历印象——应清华大学物理系“基科班20年·学堂班10年纪念活动”而写

陈佳洱，赵凯华，王殖东：面向21世纪，急待重建我国的工科物理教育王亚愚教授：清华物理系本科人才培养理念与实践葛惟昆教授：关于中外人才培养的几点思考安宇教授：为什么传统的课堂讲授模式需要改变安宇教授：其实教学就是积累的过程刘玉鑫教授：关于本科生物理基础课程教学和教材编著的一些思考沈乾若：重创理科教育的美加课程改革Henderson C：美国研究基金支持下的物理教育研究及其对高等物理教育的影响《物理与工程》期刊是专注于物理教育教学研究的学术期刊，是中国科技核心期刊，1981年创刊，欢迎踊跃投稿，期刊投审稿采编平台：

http://gkwl.cbpt.cnki.net

欢迎关注

《物理与工程》微信公众号

原标题：《怎样直观的推导电磁波？》

阅读原文