线代：1.2矩阵的行列式

本课程来自深度之眼，部分截图来自课程视频。 【第一章 线性代数】1.2矩阵的行列式 在线LaTeX公式编辑器

这节课主要介绍了行列式的引入，行列式的计算与重要性质，行列式按行(列)展开，代数余子式，克莱姆法则，矩阵的逆，矩阵逆的性质等知识点。 掌握目标： 1、了解如何从解方程的角度引入二阶三阶行列式 2、掌握全排列，逆序数，以及n阶方阵行列式的一般运算公式 3、掌握特殊矩阵：对角矩阵，上(下)三角矩阵行列式的公式 4、熟练掌握行列式的性质，以及如何通过变换转为上(下)三角矩阵来简化行列式的计算 5、掌握行列式的按行按列展开，余子式和代数余子式 6、了解克莱姆法则，掌握n*n方程组的解的个数的定理

行列式最早是从解方程组的角度来的，例如二阶行列式： 用消元法解二元线性方程组： { a 11 x 1 + a 12 x 2 = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 = b 2 \begin{cases}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}=b_{1}\\\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}=b_{2}\end{cases} ⎩⎪⎨⎪⎧​a11​x1​+a12​x2​=b1​a21​x1​+a22​x2​=b2​​

为消去未知数 x 2 x_2 x2​，以 a 22 a_{22} a22​与 a 12 a_{12} a12​分别乘上列两方程的两端，然后两个方程相减，得: ( a 11 a 22 − a 12 a 21 ) x 1 = b 1 a 22 − a 12 b 2 (a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21})x_{1}=b_{1}a_{22}-a_{12}b_{2} (a11​a22​−a12​a21​)x1​=b1​a22​−a12​b2​

消去未知数 x 1 x_1 x1​得： ( a 11 a 22 − a 12 a 21 ) x 2 = a 11 b 2 − b 1 a 21 (a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21})x_{2}=a_{11}b_{2}-b_{1}a_{21} (a11​a22​−a12​a21​)x2​=a11​b2​−b1​a21​ 求得方程组的解为 x 1 = b 1 a 22 − a 12 b 2 a 11 a 22 − a 12 a 21 x_{1}=\frac{b_{1}a_{22}-a_{12}b_{2}}{a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}} x1​=a11​a22​−a12​a21​b1​a22​−a12​b2​​ x 2 = a 11 b 2 − b 1 a 21 a 11 a 22 − a 12 a 21 x_{2}=\frac{a_{11}b_{2}-b_{1}a_{21}}{a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}} x2​=a11​a22​−a12​a21​a11​b2​−b1​a21​​ 公式输入好累，还是截图方便。 若记（D） 则方程组的解可以写为 以上就是引入行列式的内容，那行列式和矩阵什么关系？ 如果矩阵记为A，则行列式记为|A|，行列式的值是一个实数，例如： 设有9个数排成3行3列的数表 记为：

下面称为3* 3数表的三阶行列式。按照此式的定义，三元一次方程组也是满足前面二元一次方程组的行列式表达形式，后面更加通用的克莱姆法则。 注意： 我们已经学过矩阵，所以这里的数表我们就认为是一个3*3的矩阵，对应的行列式称为矩阵的行列式

1.全排列：比如1，2，3的全排列有哪些。 123/132/213/231/312/321， 也就是n个数的全排列有n!种 2.逆序数：记为t，直接看例子 求排列32514的逆序数. 解在排列32514中： 3排在首位，逆序数为0； 2的前面比2大的数有一个（3），故逆序数为1； 5是最大数，逆序数为0； 1的前面比1大的数有三个（3、2、5），故逆序数为3； 4的前面比4大的数有一个（5），故逆序数为1； 于是这个排列的逆序数为t=0+1+0+3+1=5. 下面来计算三阶行列式： 可以看到，总共有六项，每项的 a i j a_{ij} aij​的第一个系数i都是1.2.3 每项 a i j a_{ij} aij​的第二个系数j是123这三个数字的全排列，各个全排列的逆序数t为： 123(t=0) 231(t=2) 312(t=2) —kawayiの分割线—上偶下奇 132(t=1) 213(t=1) 321(t=3) 可以看到逆序数为偶数的为正，奇数为负。所以可以写成： 对于n阶行列式： 推论：对于对角矩阵（主对角矩阵）有 副对角矩阵有：

性质1：行列式与它的转置行列式相等： ∣ A T ∣ = ∣ A ∣ |A^T|=|A| ∣AT∣=∣A∣ 性质2：互换行列式的两行（列），行列式变号 以上两个性质要很熟悉！ 推论：如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式等于零. 性质3：行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数k，等于用数k乘此行列式. 性质4：行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式等于零. 性质5：若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和，例如第i列的元素都是两数之和： 性质6：把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列（行）对应的元素上去，行列式不变. 上式可以根据性质4分两项，第一项和原来的行列式一样，第二项因为后面加上那个部分是成比例，根据性质4为0. 下面是一个行列式计算的例子，总体的思想是把三角区域变成0，最后的行列式的值等于对角线的元素的乘积。其中c是column，r是row。为了避免分数，要计算的元素最好是1.例如刚开始的时候把第二列和第一列互换位置

降阶处理，用低阶的行列式来算高阶的行列式 先导概念：余子式，代数余子式 引理一个n阶行列式，如果其中第i行所有元素除（i，j）元 a i j a_{ij} aij​外都为零，那么这行列式等于 a i j a_{ij} aij​与它的代数余子式的乘积，即 D = a i j A i j D=a_{ij}A_{ij} D=aij​Aij​ 这个引理的证明过程大概思路如下： 第一步，先可以证明这个： 如果有一个行列式，可以分为四块，其中一块为0 记左上和右下为： 则有： D = D 1 D 2 D=D_1D_2 D=D1​D2​ 第二步，根据上面的推论，先证（i，j）=（1，1）的情形，此时 这个好证，可以把推论中的 D 1 D_1 D1​看做是 a 11 a_{11} a11​，其他的看做是 D 2 D_2 D2​ 根据推论的结果就可以得到 D = a i j A i j D=a_{ij}A_{ij} D=aij​Aij​ 第三步，再证明 a i j a_{ij} aij​在任意位置的情况： 这个时候，把 a i j a_{ij} aij​所在的行和列进行交换，是的 a i j a_{ij} aij​变到 a 11 a_{11} a11​位置（每交换一次就要乘一次-1），再利用第二步的结果就可以得证。原文描述如下： 上面啰嗦这么多，主要是为了这个定理3：行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即 这个东西的证明要用到行列式的性质5.然后把下面式子拆分为n项 接下来拆分 上面的第一项可以写为 a i 1 A i 1 a_{i1}A_{i1} ai1​Ai1​，第二项为 a i 2 A i 2 a_{i2}A_{i2} ai2​Ai2​，…第n项为 a i n A i n a_{in}A_{in} ain​Ain​。也就是定理得证。 推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零.即 证明过程思想是这样，如果一个正常的行列式要展开，按定理三有： 这个等式左边和推论中的东西不一样，如果我们把行列式中的第j行替换为第i行，变成： 也就是上面等式中的左边的 a j 1 a_{j1} aj1​换成了 a i 1 a_{i1} ai1​， a j 2 a_{j2} aj2​换成了 a i 2 a_{i2} ai2​，…， a j n a_{jn} ajn​换成了 a i n a_{in} ain​，所以等式左边变成了： 也就是推论的左边形式出来了。 这个时候观察第j行替换为第i行后的行列式，根据行列式的推论可知，该行列式为0，本推论都证。 以上三节都是讲行列式的基础知识，下面是行列式的一个重要法则，以及矩阵的逆方面的知识点

克莱姆法则如下图所示，注意两点： 1、D（系数行列式不能为0）； 2、 D j D_j Dj​是把常数项 b b b替换第j列得到的行列式。 定理4：如果线性方程组（11）的系数行列式D≠0，则（11）一定有解，且解是惟一的. 定理4的逆否定理为： 定理4’：如果线性方程组（11）无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零。 对于齐次线性方程组 PS：齐次线性方程组的解一定是有x1~ n都等于0. 定理5：如果齐次线性方程组（13）的系数行列式D≠0，则齐次线性方程组（13）没有非零解. 定理5’：如果齐次线性方程组（13）有非零解，则它的系数行列式必为零